Wirujące Szeregi Fouriera

Rozdział 4. Jak odfiltrować harmoniczną z f(t)=0.5*cos(4t)?

Rozdział 4.1 Wstęp
Każda funkcja okresowa f(t) jest sumą sinusoid/cosinusoid czyli tzw. harmonicznych o pulsacjach 1ω0, 2ω0,3ω0… Zbudowanie f(t) gdy znamy harmoniczne jest proste. Wystarczy je dodać. Odwrotnie tzn. znalezienie harmonicznych o pulsacjach 1ω0, 2ω0,…nω0, gdy znamy f(t), to już ciekawszy problem.  Np. jak wyłuskać 3 harmoniczną tj. dla 3ω0=3*1/sek z fali prostokątnej o pulsacji 1ω0=1/sek czyli o okresie T≈6.28sek? Pomocna tu będzie dwuwymiarowa i zespolona wersja funkcji f(t), czyli trajektoria*  F(njω0t)=f(t)*exp(-njω0t). Jest to właściwie n trajektorii dla n różnych  harmonicznych o pulsacjach ω=n*ω0. Z każdej trajektorii F(njω0t) będziemy wyłuskiwać kolejne harmoniczne. Jest to bardziej intuicyjne niż wyłuskiwanie z rzeczywistej funkcji f(t).
W Rozdziale 4.4 będziemy analizować tylko funkcję  f(t)=c0+A*cos(nω0t) dla c0=0, A=0.5, n=4 i ω0=1/sek. Czyli funkcja składa się tylko z jednej harmonicznej tj. 0.5*cos(4t). Jak w zagadce “Po wodzie pływa, kaczka się nazywa”. To po co to? A no po to, żeby zapoznać się z metodą wirującej płaszczyzny. Zobaczysz jak dla prawie dla każdej pulsacji wirowania ω nic się nie odwiruje. Albo inaczej, odwiruje się harmoniczna A*cos(nω0t) o amplitudzie A=0. Czyli nic. Ale dla jednej konkretnej pulsacji tj. ω=4*1/sek odwiruje się harmoniczna h4(t)=0.5*cos(4t).  Zauważ, że tu  pulsacje wirowania i harmonicznej są takie same!
*trajektoria-tor poruszającego się po płaszczyźnie Z punktu.

Rozdział 4.2 F(1j1t)=1*exp(-1j1t) czyli wirujący z prędkością ω=1/sek promień R=1,
Sama funkcja zespolona F(njω0t)=f(t)*exp(-njω0t), wygląda dość egzotycznie i nie wiadomo jak się do niej zabrać.
Dlatego zaczniemy od najprostszego przypadku, tj.  gdy  f(t)=1, n=1 i ω0=1/sek. Funkcja f(t) jest stałą i nie może już być prostsza!
Czyli ogólne  F(njω0t)=f(t)*exp(-njω0t) stanie się szczególnym F(1j1t)=1*exp(-1j1t).
Wiemy z rozdziału 2, że jest to wirujący z prędkością –ω0=-1/sek  (czyli w kierunku “zegarowym”) promień R o długości 1.
Jego stanem początkowym jest wektor (1,0).

Rys.4-1
Rys.4-1a.
Funkcja F(1j1t)=1*exp(-1j1t) jako wirujący wektor
Rys.4-1b.
Funkcja F(1j1t)=1*exp(-1j1t) jako wirująca trajektoria.
Na animacji widzisz tylko jeden obrót trwający T=2π/ω0=2πsek≈6.28sek. Potem sytuacja powtarza się po tym samym torze. Tak więc nawet, gdyby animacja trwała dłużej niż T, to trajektoria f(1j1t) w odróżnieniu od wirującego wektora, byłaby nieruchoma!
Tu była prędkość wirowania płaszczyzny –1ω0=-1/sek
Dla F(2j1t)=1*exp(-2j1t) będzie 2 razy większa prędkość wirowania.
Dla F(3j1t)=1*exp(-3j1t)będzie 3 razy…
Dla F(1j1t)=7*exp(-1j1t) będzie 7 razy większy okrąg… tu f(t)=7
Nic dodać, nic ująć.
Dla każdej prędkości wirowanie nω0 środek ciężkości tej trajektorii scn=0. Tu n=1, czyli sc1=0. To oznacza, że funkcja stała f(t)=1 nie ma harmonicznych. Nagrody Nobla za to nie dostaniesz, ale oswoiłeś się z najłatwiejszym przypadkiem trajektorii F(njω0t)=f(t)*exp(-njω0t), gdy f(t)=1.
Rys.4-1c.
Funkcja F(0j1t)=(1,0) jako wektor w stanie początkowym t=0.
Wcześniej badaliśmy funkcję zespoloną F(njω0t) dla n=1,2,3…  A co będzie dla n=0?
Z czystej matematyki wynika, że F(0jω0t)=f(0)=1*exp(0)=1. Inaczej, wirujący promień zatrzyma się i będzie nim wektor (1,0). Przyznasz, że wyrażenie F(0)=(1,0) wygląda dość dziwnie, chociaż jest prawdziwe. Umówmy się więc, że taką sytuację  zapiszemy jako F(0j1t)=(1,0). To samo co F(0)=(1,0)  ale widać, że wirujący wektor się zatrzymał dla n=0! 
Rys.4-1d.
Funkcja F(0j1t)=(1,0) jako trajektoria w stanie początkowym t=0. Tu trajektoria zdegenerowała się do punktu (1,0) na osi Re z.

Rozdział 4.3  Trajektoria F(njω0t)=f(t)*exp(-njω0t) dla f(t)=0.75+0.5cos(4t), n=0 oraz 1 i ω0=1/sek.
Rozdział 4.3.1 Wstęp
Trochę bardziej skomplikowany przykład.
Spójrz na animację Rys.4-1a gdzie promień R=1 wiruje z prędkością 1ω0. Takie są prawa funkcji zespolonych, że każdy “twór” na płaszczyźnie zespolonej Z pomnożony przez exp(-1jω0t) obróci się “zegarowo” o kąt α=-1ω0t wokół z=(0,0) . Czyli kąt α wiruje z prędkością -1ω0, dlatego “twór” też będzie wirował “zegarowo” z prędkością –ω0. .
Uwaga
W każdym eksperymencie pojawi się n-ta trajektoria F(njω0t) wirująca wokół punktu scn. Nazwijmy go środkiem ciężkości trajektorii, chociaż obliczamy go inaczej niż środek ciężkości figury płaskiej w mechanice!  Najczęściej będzie nim scn=(0,0), czyli środek płaszczyzny zespolonej Z. Ale czasami przy niektórych prędkościach wirowania ω=n*ω0 punkt scn będzie niezerowy. Ciekawe, przy jakich prędkościach ω i jakie będą współrzędne scn=(a,b) tego punktu?
Środek ciężkości trajektorii scn  często będzie zgodny z intuicją. Np.  Rys. 4-4b. Ale nie zawsze tak jest. Wtedy po prostu musisz mi uwierzyć. W Rozdziale 7 dowiesz się, jak dokładnie obliczać środek ciężkości scn dla n-tej trajektorii F(njω0t), oraz jak bezpośrednio wiąże się on z harmoniczną o pulsacji wirowania ω=njω0.
Rozdział 4.3.2 Trajektoria F(njω0t)=f(t)*exp(-njω0t) dla n=0 i ω0=4/sek.
czyli F(0j1t)=0.75+0.5cos(4t) czyli niewirujący promień R(t)=0.75+0.5cos(4t)
Promień R zmienia się wg. funkcji okresowej f(t) tj. f(t)=R(t)=0.75+0.5cos( 4t) i nie wiruje (0j1t=0).
Za to pulsuje wokół c0=+0.75 na osi Re z wg  funkcji f(t)=R(t). Najlepiej pokaże to animacja.

Rys. 4-2
Trajektoria F(0j1t)=0.75+ 0.5cos(4t) w wersji zespolonej  i rzeczywistej.
Podobnie jak liczba x=1 może być w wersji zespolonej x=1+0j lub tylko rzeczywistej x=1.
Rys.4-2a
F(0j1t)=0.75+0.5cos(4t) w wersji zespolonej bo na płaszczyźnie Z
Rzeczywiście, każdemu czasowi t odpowiada punkt na płaszczyźnie zespolonej Z, tu na osi rzeczywistej Re z. Przypominam, że każda liczba rzeczywista jest zespoloną, ale nie każda liczba  zespolona jest rzeczywistą! Funkcja f(t) jest wektorem, który cały czas “buja się” na osi rzeczywistej Re z w lewo i prawo wokół wektora c0=(+0.75,0).
Średnią wartością F(0j1t) w okresie T=2πsek≈6.28sek  jest c0=(+0.75,0). T=2πsek jest okresem F(0jω0t)=f(t) ale nie jest jej okresem podstawowym T=πsek/2≈1.57sek! –>Uwaga dla Rys.4-3b.
Rys.4-2b
F(0j1t)= 0.75+cos(4t) w wersji rzeczywistej, czyli klasyczna funkcja f(t)= 0.75+0.5cos(4t).
Średnią  wartością f(t) w okresie T≈6.28sek też jest c0=+0.75.
Uwaga.
W Szeregu Fouriera dowolnej funkcji okresowej pierwszym elementem jest składowa stała f(t), czyli współczynnik c0.
Liczymy go jako jako całkę z poniższego wzoru.

Rys.4-3
Wzór na składową stałą funkcji okresowej f(t), czyli na c0
Jest to średnia funkcji f(t) w okresie T
Rys.4-3a
Wzór ogólny dla dowolnego f(t) o okresie T
Rys.4-3b
Wzór szczególny dla f(t)= 0.75+0.5cos(4t)
Uwaga.
Tu okresem podstawowym jest T=π/2. Sprawdź na Rys.4-2a. Ale T=2π też jest okresem! W obydwu przypadkach otrzymamy ten sam wynik c0=+0.75.  Także dla np. f(t)= +0.75+2.8cos(27t) wzór jest prawdziwy dla T=2π. Średnia c0=+0.75 jest oczywista bez rachunku całkowego. Pola nad i pod zieloną linią c0=+0.75 są równe.
Inne spojrzenie na c0=+0.75. Jest to także środek ciężkości sc1=(0.75,0) “bujającej” trajektorii F(0j1t) na Rys.4-2a, gdy prędkość wirowania płaszczyzny ω=0.
Rozdział 4.3.3 Trajektoria F(njω0t)=f(t)*exp(-njω0t) dla n=1 i ω0=4/sek.
czyli F(1j1t)=[0.75+0.5cos(4t)]*exp(-1j1t) czyli wirujący promień R(t)=0.75+0.5cos(4t)
Spójrz na animację z Rys.4-2a. Koniec wektora porusza się “wte i wewte” wokół punktu  c0=(+0.75, 0) wg. wzoru f(t)= 0.75+0.5cos(4t).
A gdyby dodatkowo wektor wirował z prędkością –ω0=-1/sek? Czyli “zegarowo” z okresem T≈6.28sek. Wtedy jego ruch  na płaszczyźnie zespolonej można opisać tak jak w tytule rozdziału.

Rys. 4-4
F(1j1t)=[0.75+0.5cos(4t)]*exp(-j1t)
Animacja przedstawia jeden okres T=2π/ω≈6.28sek funkcji zespolonej f(1j1t).
Rys.4-4a
F(1j1t) jako modulowany funkcją f(t)=0.75+0.5cos(4t) promień R(t), którego obrót trwa T=2π/ω0≈6.28sek
W czasie obrotu promienia R, jego  zmienia długość  zgodnie z funkcją R(t)=f(t)=0.75+0.5cos(4t).
Rys.4-4b
F(1j1t) jako trajektoria.
Środkiem ciężkości trajektorii F(njω0t) dla n=1 jest ewidentnie sc1=(0,0). Wniosek–> f(t)=0.75+0.5cos(4t) nie ma harmonicznej o pulsacji 1ω0=1/sek! Bezpośrednio ze wzoru, nie jest to odkrycie Ameryki. Ale my to otrzymaliśmy z F(1j1t)=[0.75+0.5cos(4t)]*exp(-j1t)! Czyli obracaliśmy f(t) “zegarowo” z prędkością –1ω0=-1/sek.
Uwaga
Zamiast opisu jw. z modulowanym promieniem R, można bardziej ogólnie.
Jest to złożenie 2 ruchów
– harmonicznego wzdłuż osi Re z na Rys. Rys.4-2a opisanego równaniem f(t)=0.75+0.5cos(4t), czyli z prędkością ω=4/sek
– obrotowego płaszczyzny zespolonej wokół z=(0,0) z prędkością –ω0=-1/sek. 
Obraca się cała płaszczyzna ze swoja zawartością (także z modulowanym promieniem R!), ale osie Rez/Imz pozostają nieruchome!

Rozdział 4.4 Jak przy pomocy płaszczyzny wirującej z prędkością ω=n*ω0, wyłuskać harmoniczną 0.5cos(4t) z funkcji f(t)=0.5cos(4t)?
Rozdział 4.4.1 Wstęp 
Mamy funkcję f(t)=0.5cos(4t). My ją znamy, ale “Ktoś” wie tylko, że jest to funkcja  typu cosinus. Nie zna amplitudy A=0.5, pulsacji ω=4/sek. Widzi tylko ruch harmoniczny na Rys.4-5a. Z grubsza jest to jakaś sinusoida/cosinusoida, ale to za mało żeby określić dokładny wzór na f(t). Za to ma możliwość obracania płaszczyzny zespolonej z dowolną prędkością ω. Ułatwmy jednak “Ktosiowi” robotę i niech tą prędkością będzie n*ω0 dla n=0…8 i ω0=1/sek. Wie, że pulsacja f(t) jest jakąś wielokrotnością ω0=1/sek. My wiemy, że tą wielokrotnością jest n=4, “Ktoś” nie. Jaka to funkcja f(t)? Ściślej, jakie są parametry funkcji f(t)=c0+Acos(nω0t)? Czyli szukamy c0, A i n. Parametr ω0 znamy–> ω0=1/sek.
Rozdział 4.4.2 Trajektoria F(0j1t)=0.5cos(4t)*exp(-0j1t) czyli bez wirowania
“Ktoś” podrapał się w głowę i “położył” f(t) na płaszczyźnie zespolonej Z. Najpierw bez wirowania płaszczyzny Z, czyli n=0 czyli 0jω0=0.
Powstanie animacja podobna do Rys. 4-2, tylko bez składowej stałej c0.

Rys.4-5
Trajektoria F(0j1t)=f(t)=0.5cos(4t) w wersji zespolonej  i rzeczywistej
Rys.4-5a
F(0j1t)=f(t)=0.5+cos(4t) w wersji zespolonej
Rys.4-5b
F(0j1t)=f(t)=0.5+cos(4t) w wersji rzeczywistej czyli f(t)=0.5cos(4t).
Jest to po prostu funkcja f(t)! Jej średnią  wartością f(t) w okresie T=2π≈6.28sek (a także T=πsek/2≈1.57sek) jest c0=0. Chyba każdy to widzi, nawet bez całkowania. Inne spojrzenie na c0=0. Jest to także środek ciężkości sc(0,0) “bujającej” trajektorii na Rys.4-5a, gdy prędkość wirowania płaszczyzny ω=0.
Wniosek.
Znamy już pierwszy parametr f(t)=c0+Acos(nω0t). Jest nim składowa stała c0=a0=0.
Rozdział 4.4.3 Trajektoria F(1j1t)=0.5cos(4t)*exp(-1j1t) czyli z wirowaniem -1ω0=-1/sek
W tym i następnych podrozdziałach pulsujący promień R(t)=0.5cos(4t) zacznie wirować. Zaczynamy od najmniejszej prędkości –1ω0=-1/sek. Tu animacja będzie trwała T=2π/ω0≈6.28sek i promień R=0.5 z Rys.4-6a wykona 1 obrót. W następnych prędkościach tj. –2ω0=-2/sek, -3ω0=-3/sek…-8ω0=-8/sek, czas każdej animacji będzie  taki sam T≈6.28sek. Wtedy promień R=0.5 wykona 2,3…8 obrotów. Albo inaczej, płaszczyzna zespolona Z wykona 2,3…8 obrotów

Rys.4-6
F(1j1t)=0.5cos(4t)*exp(-1j1t)
Animacja trwa T=2π/ω0≈6.28sek.
Przyznasz, że animacja a zwłaszcza Rys.4-6c daje więcej informacji niż goły rysunek.
Rys.4-6a
Promień R=0.5 z 1ω0=1/sek wykona 1 obrót.
Rys.4-6b
W czasie obrotu zmienia się długość promienia  zgodnie z funkcją R(t)= f(t)=0.5cos(4t). Promień chwilami staje staje się “ujemny”.  Nie jest to zgodne z matematyką, bo promień zawsze jest dodatni! Oznacza to sytuację, gdy wirujący promień R przechodzi przez (0,0) inną ćwiartkę płaszczyzny. Realizowana jest więc funkcja zespolona jako wirujący wektor, czyli trajektoria F(1j1t)=0.5cos(4t)*exp(-1j1t). Zauważ, że brak precyzji (“ujemny promień”) ułatwia zrozumienie problemu. Od prawdziwego matematyka dostałbym po łapach.
Rys.4-6c
Funkcja zespolona F(1j1t) jako trajektoria rysowana przez wirujący wektor.
Środkiem ciężkości trajektorii F(1j1t) jest ewidentnie sc1=(0,0). Czyli funkcja f(t) nie ma harmonicznej o pulsacji 1ω0=1/sek.
*Uwaga
Funkcja F(1j1t)=0.5cos(4t)*exp(-1j1t) jest prostsza od poprzedniej ze składową stałą c0. tj od f(jt)=[0.75+0.5cos(4t)]*exp(-1j1t).
Ale trudniejsza do wyobrażenia! Dlaczego? Bo czasami promień R staje się “ujemny” tak jak każdy cosinus.
Dlatego wcześniej w Rozdziale 4.3.3  badaliśmy “łatwiejszy” promień R, który jest cały czas “dodatni”.
Rozdział 4.4.4 Trajektoria F(2j1t)=0.5cos(4t)*exp(-2j1t) czyli z wirowaniem -2ω0=-2/sek

Rys.4-7
F(2j1t)=0.5cos(4t)]*exp(-2j1t)
Animacja trwa T≈6.28sek.
Rys.4-7a
Promień R=0.5 wykona 2 obroty.
Rys.4-7b
Funkcja zespolona F(2j1t) jako wirujący wektor
Rys.4-7c
Funkcja zespolona F(2j1t) jako trajektoria. Drugi obrót po tym samym torze, dlatego pozornie zatrzymała się.
Środkiem ciężkości trajektorii F(2j1t) jest sc2=(0,0). Czyli funkcja f(t) nie ma harmonicznej o pulsacji 2ω0=2/sek.
Rozdział 4.4.5 Trajektoria F(3j1t)=0.5cos(4t)*exp(-3j1t) czyli z wirowaniem -3ω0=-3/sek

Rys.4-8
F(3j1t)=0.5cos(4t)]*exp(-3j1t)
Animacja trwa T≈6.28sek.
Rys.4-8a
Promień R=0.5 wykona 3 obroty.
Rys.4-8b
Funkcja zespolona F(3j1t) jako wirujący wektor.
Rys.4-8c
Funkcja zespolona F(3j1t)jako trajektoria.
Środkiem ciężkości trajektorii F(3j1t) jest sc3=(0,0). Czyli funkcja f(t) nie ma harmonicznej o pulsacji 3ω0=3/sek.
Uwaga:
Słabo widoczna czerwona pozioma kreska przyda się później dla celów porównawczych z Rys.4-16c
Rozdział 4.4.6 Trajektoria F(4j1t)=0.5cos(4t)*exp(-4j1t) czyli z wirowaniem -4ω0=-4/sek

Rys.4-9
F(4j1t)=0.5cos(4t)*exp(-4j1t)
Animacja trwa T≈6.28sek. 
Rys.4-9a
Promień R=0.5 wykona 4 obroty.
Rys.4-9b
Funkcja zespolona F(4j1t) jako wirujący wektor. Wektor R(t) o zmiennej długości wykona 8 obrotów po okręgu. Czyli 2 razy więcej niż R na Rys.4-9a!
Rys.4-9c
Funkcja zespolona F(4j1t) jako trajektoria.
Widzisz tylko pierwszy z ośmiu obrotów trajektorii.
Coś ciekawego dzieje się ze środkiem ciężkości trajektorii sc4. Nie jest jak wcześniej (i później też!) zerowy, lecz sc4=(0.25,0). Jest to wektor i można go także zapisać w postaci wykładniczej sc4=R*exp(jϕ)=0.25*exp(j0°). W Rozdziale 7 dowiesz się,  ze środka ciężkości trajektorii dla pulsacji 4*ω0 jako sc4=(0.25,0) można odczytać 4 harmoniczną funkcji f(t) jako 0.5cos(4t).
Uwaga
Zauważ też, że wektor Rys.4-9b i trajektoria Rys.4-9c ma 2 razy większą pulsację niż obracający się wektor R=0.5 z Rys.4-9a.
Rozdział 4.4.7 Trajektoria F(5j1t)=0.5cos(4t)*exp(-5j1t) czyli z wirowaniem -5ω0=-5/sek

Rys.4-10
F(5j1t)=0.5cos(4t)]*exp(-5j1t)
Animacja trwa T≈6.28sek.
Rys.4-10a
Promień R=0.5 wykona 5 obrotów.
Rys.4-10b
Funkcja zespolona F(5j1t) jako wirujący wektor.
Rys.4-10c
Funkcja zespolona F(5j1t) jako trajektoria.
Środkiem ciężkości trajektorii F(5j1t) jest sc5=(0,0). Czyli funkcja f(t) nie ma harmonicznej o pulsacji 5ω0=5/sek.
Rozdział 4.4.8 Trajektoria F(6j1t)=0.5cos(4t)*exp(-6j1t) czyli z wirowaniem -6ω0=-6/sek

Rys.4-11
F(6j1t)=0.5cos(4t)]*exp(-6j1t)
Animacja trwa T≈6.28sek.
Rys.4-11a
Promień R=0.5 wykona 6 obrotów.
Rys.4-11b
Funkcja zespolona F(6j1t) jako wirujący wektor.
Rys.4-11c
Funkcja zespolona F(6j1t) jako trajektoria.
Środkiem ciężkości trajektorii F(6j1t) jest sc6=(0,0). Czyli funkcja f(t) nie ma harmonicznej o pulsacji 6ω0=6/sek.
Rozdział 4.4.9 Trajektoria F(7j1t)=0.5cos(4t)*exp(-7j1t) czyli z wirowaniem -7ω0=-7/sek

Rys.4-12
F(j7t)=0.5cos(4t)]*exp(-7j1t)
Animacja trwa T≈6.28sek.
Rys.4-12a
Promień R=0.5 z ω0=7/sek wykona 7 obrotów.
Rys.4-12b
Funkcja zespolona F(j7t) jako wirujący wektor.
Rys.4-12c
Funkcja zespolona F(7j1t) jako trajektoria.
Środkiem ciężkości trajektorii F(7j1t) jest sc7=(0,0). Czyli funkcja f(t) nie ma harmonicznej o pulsacji 7ω0=7/sek.
Rozdział 4.4.10 Trajektoria F(8j1t)=0.5cos(4t)*exp(-8j1t) czyli z wirowaniem -8ω0=-8/sek

Rys.4-13
F(8j1t)=0.5cos(4t)]*exp(-8j1t)
Animacja trwa T≈6.28sek.
Rys.4-13a
Promień R=0.5 wykona 8 obrotów.
Rys.4-13b
Funkcja zespolona F(8j1t) jako wirujący wektor.
Rys.4-13c
Funkcja zespolona F(8j1t) jako trajektoria.
Środkiem ciężkości trajektorii F(8j1t) jest sc8=(0,0). Czyli funkcja f(t) nie ma harmonicznej o pulsacji 8ω0=8/sek.
Rozdział 4.4.11 Podsumowanie trajektorii F(njω0t)=0.5cos(4t)*exp(-jω0t) dla różnych wirowań nω0.
Najważniejsze 3 wnioski z powyższych trajektorii
1.  Gdy pulsacje ω funkcji okresowej f(t) i wirowania płaszczyzny Z są jednakowe (ω=-4ω0), to trajektoria wiruje wokół niezerowego środka ciężkości s4c=(0.25,0). Oznacza to, że dla tej pulsacji istnieje harmoniczna f(t)=2*0.25cos(4t)=0.5cos(4t). Dlaczego akurat “2*0.25=0.5″,dowiesz się w Rozdziale 7.
2. Dla pozostałych niezerowych pulsacji ω0 trajektorie wirują wokół scn=(0,0). Oznacza to, że wszystkie pozostałe pulsacje  ω0 nie zawierają harmonicznych.
3. Z niewirującej trajektorii (ω=0*ω0=0) można odczytać składową stałą, tu c0=0. Na Rys.4-2a Składową stałą jest c0=0.75
Połączmy poprzednie animacje w jedną.

Rys.4-14
Trajektorie F(jnω0t)=0.5cos(4t)*exp(-jnω0t) dla różnych pulsacji nω0.
1. Trajektoria dla ω=0/sek pulsuje wokół sc0=c0=0. Jest to zerowa składowa stała c0 funkcji f(t)=2*0.25cos(4t)=0.5cos(4t) i jednocześnie środek ciężkości sc0 trajektorii F(jnω0t) dla n=0 i ω0=1/sek.
2. Trajektoria dla ω=-4ω0=-4/sek pulsuje wokół sc4=(0.25,0). Z niej można odczytać 4 harmoniczną (i jedyną!) harmoniczną funkcji f(t)=0.5cos(4t).
3. Dla pozostałych prędkości wirowania nω0 trajektorie  wirują wokół zerowych środków ciężkości sc1=sc2=sc3=sc5=sc6=sc7=sc8=(0,0). Oznacza to, że dla tych pulsacji nω0 funkcja f(t)=0.5cos(4t) nie ma harmonicznych. Jest to oczywista oczywistość, ale my to otrzymaliśmy metodą wirującej płaszczyzny Z.

Rozdział 4.5 Jak przy pomocy płaszczyzny wirującej z prędkością ω=n*ω0, wyłuskać harmoniczną 0.5cos(4t-30°) z funkcji f(t)=0.5cos(4t-30°)?
Rozdział 4.5.1 Wstęp
W Rozdziale 4.4 była funkcja f(t)=0.5cos(4t), teraz f(t)=0.5cos(4t-30°). Jak wpłynie to na trajektorie F(jnω0t)=f(t)*exp(-jnω0t)? Spodziewamy się, że dla n≠4  trajektorie f(jnω0t też będą wirować wokół scn=(0,0). A wokół “czego” będzie wirować dla dla n=4, czyli jakie będzie sc4? Czy z tego “czego” też odczytamy harmoniczną 0.5cos(4t-30°)?
Rozdział 4.5.2 Trajektoria f(0j1t)=0.5cos(4t-30°)*exp(-0j1t) czyli bez wirowania

Rys.4-15
funkcja 0.5cos(4t-30°) w wersji zespolonej f(t) i klasycznej f(t)
Rys.4-15a
f(t)= 0.5cos(4t-30°) w wersji zespolonej
Składowa stała c0=0, czyli f(t) “buja” się wokół sc0=(0,0). Prawie tak jak na  Rys.4-5a. Znajdź drobną różnicę widoczną w chwili początkowej względem Rys.4-5a.
Rys.4-15b
Klasyczna wersja 0.5cos(4t-30°) czyli przebieg czasowy.
Rozdział 4.5.3 Trajektoria f(3j1t)=0.5cos(4t-30°)*exp(-3j1t) czyli z wirowaniem -3ω0=-3/sek
Poprzednio dla f(t)=0.5cos(4t) badaliśmy 8 prędkości wirowań trajektorii tj. dla  n*ω0 gdy:
n=4 wtedy był niezerowy środek ciężkości trajektorii sc4=(0.25,0)
n≠4 wtedy był zerowy środek ciężkości sc trajektorii  scn=(0,0)
Dla f(t)=0.5cos(4t-30°) będzie podobnie. Dlatego sprawdzimy tylko dla jednego “zerowego” wirowania, np. dla n=3 czyli dla n*ω0=3/sek

Rys.4-16
F(3j1t)=0.5cos(4t–30°)*exp(-j3t)≈(0.433-j0.25)*cos(4t)*exp(-j3t)
Animacja trwa T≈6.28sek.
Rys.4-16a
Promień R=0.5 z wykona 3 obroty.
Rys.4-16b
Funkcja zespolona F(3j1t) jako wirujący wektor.
Rys.4-16c
Funkcja zespolona F(3j1t) jako trajektoria
Jest obrócona o jakiś kąt (-30°?) względem trajektorii f(3j1t)=0.5cos(4t)*exp(-j3t) z Rys.4-8c. Widać to po czerwonej kresce na obu rysunkach. Środkiem ciężkości dla obrotów ω=-3/sek jest sc3=(0,0). Czyli funkcja nie ma harmonicznej dla ω=3/sek.
Rozdział 4.5.4 Trajektoria F4j1t)=0.5cos(4t-30°)*exp(-4j1t) czyli z wirowaniem -4ω0=-4/sek

Rys.4-17
F(4j1t)=0.5cos(4t-30°)*exp(-j4t)
Animacja trwa T≈6.28sek. 
Rys.4-17a
Promień R=0.5 wykona 4 obroty.
Rys.4-17b
Funkcja zespolona f(4j1t) jako wirujący wektor
Wektor R(t) o zmiennej długości wykona 8 obrotów po okręgu. Dlatego widzisz tylko pierwszy obrót.
Rys.4-17c
Funkcja zespolona F(4j1t) jako trajektoria.
Wektor z Rys.4-17b wykona 8 obrotów po okręgu. Nie jest jak wcześniej zerowy, lecz sc4=0.25*exp(-j30°) lub jako sc4=(a,b)≈(0.433,-0.25). W Rozdziale 7 dowiesz się, że ze środka ciężkości sc4 można odczytać 4 harmoniczną funkcji f(t) jako 0.5cos(4t-30°).

i