Wirujące Szeregi Fouriera

Rozdział 12. Szereg Fouriera klasycznie

Rozdział 12.1 Wstęp
Wzory związane z
Szeregiem Fouriera przedstawiono na rys. 7.2 w rozdz.7. Bazowały na tym, że n-tą harmoniczną był podwojony wektor wskazujący n-ty środek ciężkości scn trajektorii F(njω0t)=f(t)*exp(njω0t). Ściślej, była to zespolona amplituda n-tej harmonicznej okresowej funkcji f(t).

Teraz przedstawię wzory w postaciach najczęściej spotykane w literaturze tzn.
-wersja zespolona z pulsacjami dodatnimi–>Rozdz. 12-6
-wersja trygonometryczna z pulsacjami dodatnimi–>Rozdz. 12-7
-wersja zespolona z pulsacjami dodatnimi i ujemnymi–>Rozdz. 12-8
-wersja trygonometryczna z pulsacjami dodatnimi i ujemnymi–>Rozdz. 12-9
Najczęściej wykłady z Szeregów Fouriera zaczynają się od wzorów trygonometrycznych z cosinusami i sinusami a dopiero potem przechodzi się do zespolonej wersji. U mnie jest odwrotnie i chyba bardziej intuicyjnie. Zaczynam od F(njω0t) ze środkami ciężkości scn, czyli w wersji  zespolonej i kończę klasycznie-trygonometrycznie.

Rozdział 12.2 Jeszcze raz związek środka ciężkości scn trajektorii z n-tą harmoniczną
Wszystkie 4 wersje ze Wstępu wynikają oczywiście z n-tych środków ciężkości scn trajektorii na Rys. 7-2 rozdziału 7.2.
Przypomnę najważniejsze wzory, które mam dzieję są zrozumiałe. Przynajmniej intuicyjnie.


Rys. 12-1
Związek środka ciężkości scn trajektorii F(njω0t) z zespolonymi współczynnikami Fouriera c0, cn=an-jbn i harmonicznymi hn(t) funkcji f(t).
Rys. 12-1a
Trajektoria F(njω0t)
Rys. 12-1b
Wzór ogólny na środek ciężkości scn n-tej trajektorii F(njω0t) dla f(t) o dowolnej pulsacji ω0 lub okresie T
Rys. 12-1c
Wygodniejszy wzór na scn trajektorii gdy ω0=1/sek (czyli T=2π sek).
Jest to prawie, bo z pewnym zastrzeżeniami,  wzór ogólny–> patrz Rozdz. 7.6.
Rys. 12-1d

n-ty współczynnik Fouriera jako liczba zespolona w różnych wersjach
Rys. 12-1e
n-ty współczynnik Fouriera jako podwojony środek ciężkości scn n-tej trajektorii F(njω0t).
Pokazano, jak rozłożono współczynnik na składową cosinusoidalną i snusoidalną. Inaczej-na rzeczywistą i urojoną.
Rys.12-1f
Wzór na składową stałą czyli współczynnik c0=a0 szeregu Fouriera.
Rys. 12-1g
Wzór na składową an, czyli cosinusowa szeregu Fouriera. Czerwona strzałka pokazuje “pochodzenie”
Rys. 12-1h
Wzór na składową bn, czyli sinusową szeregu Fouriera. Czerwona strzałka pokazuje “pochodzenie”
Rys. 12-1i
n-ta harmoniczna hn(t) jako suma składowej cosinusoidalnej i sinusoidalnej.
Rys. 12-1j
n-ta harmoniczna hn(t) jako cosinus z przesunięciem fazowym ϕ. Moduł |cn| jest “pitagorasem” z an i bn.

Rozdział 12.3 Funkcja testowa f(t) do badania Szeregów Fouriera
Znajdziemy Szereg Fouriera dla:
f(t)=0.25+1cos(1t)+0.3sin(1t)+0.6cos(2t)-0.4sin(2t)+0.4cos(3t)+0.2sin(3t). Harmoniczne cosinusowe i sinusowe są  widoczne. Wzory na Szereg Fouriera powinny je potwierdzić. Potem uogólnimy wzór na dowolną funkcję okresową f(t).

Rys. 12-2
f(t)=0.25+1cos(1t)+0.3sin(1t)+0.6cos(2t)-0.4sin(2t)+0.4cos(3t)+0.2sin(3t) o okresie pulsacji T=2π sek
c0=a0=+0.25 składowa stała
cn=an-jbn czyli
c1=1-j0.3 czyli a1=+1 i b1=+0.3
c2=0.6+j0.4
czyli a2=+0.6 i b2=-0.4
c3=0.4-j0.2
czyli a3=+0.4 i b3=+0.2

Rozdział 12.4 Suma cosinusów i sinusów jako wirujące wektory
Z rozdz. 2 Rys. 2-3 wynika że wirujący wektor exp(1j1t):
-jest dwuwymiarowym modelem funkcji f(t)=cos(1t)
-rzut wirującego wektora exp(1j1t) na oś rzeczywistą Re z jest funkcją f(t)=cos(1t)
Analogicznie
z rozdz. 2 Rys. 2-4 wynika że wirujący wektor -j*exp(1j1t):
-jest dwuwymiarowym modelem funkcji f(t)=sin(1t)
-rzut wirującego wektora exp(-1j1t) na oś rzeczywistą Re z jest funkcją f(t)=sin(1t)
Powyższe można uogólnić np. na trzy wirujące z prędkościami 1/sek, 2/sek i 3/sek  wektory z Rys. 12-3c i odpowiednią kombinację liniową cosinusów i sinusów


Rys. 12-3

a. Funkcja f(t) jako kombinacja liniowa cos(1t),cos(2t),cos(3t) i sin(1t),sin(2t),sin(3t) oraz stałej a0.
b. Funkcja f(t) jako rzut wirujących wektorów c1*exp(1j1t), c2*exp(2j1t) i c3*exp(3j1t) oraz stałej a0 na oś rzeczywistą czyli f(t)=Re{a0+…}
c.
Wirujące wektory ze stanami początkowymi c1=a1-jb1, c2=a2-jb2 i c3=a3-jb3 oraz stała a0 są modelem funkcji f(t) z Rys a. Skojarz parametry an i bn ze współczynnikami an przy cosinusach i bn przy sinusach na Rys. a.
d. Konkretny przypadek funkcji gdy f(t) jest z Rys. 12-2  
e. Wirujące wektory  dla konkretnej funkcji z Rys. 12-2   jako jej model.

Rys.12-4
f(t)=Re{0.25+1cos(1t)+0.3sin(1t)+0.6cos(2t)-0.4sin(2t)+0.4cos(3t)+0.5sin(3t)
Interpretacja animacji trwającej T=2πsek
+0.25 wektor nieruchomy czyli stała a0=+0.25
+(1-0.3j)exp(1j1t
) wektor pierwszej harmonicznej obracający się z prędkością 1ω0=1/sek. W czasie T=2πsek wykona 1 obrót
+(0.6+0.4j)exp(2j1t) wektor drugiej harmonicznej obracający się z prędkością 2ω0=2/sek. W czasie T=2πsek wykona 2 obroty
+(0.4-0.2j)exp(3j1t) wektor trzeciej harmonicznej obracający się z prędkością 3ω0=3/sek. W czasie T=2πsek wykona 3 obroty
A jakie będą rzuty tych wektorów w czasie? Wróć na chwilę do Rozdz. 2.6 gdzie dowiesz się ,że:
Re (a-jb)*exp(jω0t)=a*cos(ω0t)+b*sin(ω0t).
Czyli
Re (1-0.3j)exp(1j1t)=1cos(1t)+0.3sin(1t)
Re (0.6+0.4j)exp(2j1t)=0.6cos(2t)-0.4sin(2t)
Re (0.4-0.2j)exp(3j1t)=0.4cos(3t)+0.2sin(3t)
oraz
Re {+0.25}=+0.25 co jest oczywistą oczywistością
Czyli suma rzutów wirujących wektorów na oś Re jest funkcją f(t) z Rys. 12-2!
Albo, co na jedno wychodzi
Rzut rzut sumy wirujących wektorów na oś Re jest funkcją f(t) z Rys. 12-2!
Inaczej 
Część rzeczywista czyli Re sumy sumy wszystkich wirujących wektorów na oś Re jest funkcją f(t) z Rys. 12-2!

Rozdz. 12.5 Wirujący wektor jako model funkcji f(t)=an*cos(n*ω0t)+bn*sin(n*ω0t)
Gdy np.  n=1 i ω0=1/sek to a1=1, b1=-0.3 czyli f(t)=1*cos(1t)+0.3*sin(1t)

Rys. 12-5
Wirujące wektory jako model funkcji f(t)=1cos(1t)+0.3sin(1t)
Rys. 12-5.1
Pojedynczy wirujący wektor jako model f(t)
a.
Wirujący wektor +(1-0.3j)*exp(1t)
b. f(t)=Re{(1-0.3j)exp(1j1t)}
Inaczej rzut wirującego 1-0.3j)exp(1j1t) na oś rzeczywistą Re z jest funkcją f(t)
Rys. 12-5.2
Para wirujących wektorów jako model f(t)
a.
Wirujący wektor+(0.5-0.15j)*exp(1t). Jest to połowa wirującego wektora z Rys. 12-5.1a
b. Wirujący w przeciwnym kierunku wektor +(0.5+0.15j)*exp(-1j1t).
Jako liczba zespolona jest on w każdej chwili  liczbą sprzężoną względem  wirującego wektora a.
Uwaga
Liczby zespolone np.  z=5+3j oraz z*=5-3j są tzw. liczbami sprzężonymi.
Zauważ, że z* jest lustrzanym odbiciem względem z, gdy “lustrem” jest oś rzeczywista Re z.
c. f(t)=(0.5-0.15j)*exp(1t)+(0.5+0.15j)*exp(-1j1t)
Innymi słowy
Suma (zespolona albo wektorowa) przeciwnie wirujących wektorów a oraz jest funkcją rzeczywistą f(t).  Rzeczywiście, wektor c porusza się identycznie jak wektor Rys. 12-5.1b. Zauważ, że funkcji f(t) nie musimy wyłuskiwać jako część rzeczywistą liczby zespolonej!
Wnioski
1. Obydwa modele tj. pojedynczy wirujący wektor oraz para wirujących wektorów opisują tą samą funkcję f(t)czyli
f(t)=an*cos(n*ω0t)+bn*sin(n*ω0t)
2. Pojedyncze wirujące wektory
zastosowano w Rozdziale 12.6 Zespolony Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi
3. Pary wirujących wektorów zastosowano w Rozdziale 12.8 Zespolony Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi i ujemnymi

Rozdział 12.6 Zespolony Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi
Jest to uogólniony wzór na pojedyncze wirujące wektory z Rys. 12-3e oraz animacji Rys. 12-4 dla n=∞


Rys. 12-6
Zespolony Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi
Dowolna
(prawie, ale nie wnikajmy w szczegóły) funkcja okresowa f(t) może być przedstawiona jako nieskończony szereg wirujących wektorów plus składowa stała co.
a.  Pojedyncze wirujące wektory z amplitudami zespolonymi c1, c2 …cn ze składową stałą c0. Rzut tych wektorów na oś rzeczywistą Re z (czyli  Re{...} jest właśnie funkcją f(t). Prędkość ω0 np. ω0=1/sek odpowiada pulsacji funkcji okresowej f(t).
b. Jak wyżej, tylko amplitudy zespolone jako c0=a0, c1=a1-jb1, c2=a2-jb2,…cn=an-jbn
Np. dla animacji z Rys. 12-4
a0=+0.25
c1=a1-jb1=1-j0.3
–>a1=1  b1=+0.3
c2=a2-jb2=0.6+j0.4
–>a2=0.6 b2=-0.4
c3=a3-jb3=0.4-0.2j
–>a3=0.4 b3=+0.2
c. Wzór na składową stałą c0=a0 funkcji okresowej f(t)
d.
Wzór na współczynniki zespolone cn funkcji okresowej f(t), inaczej na amplitudy zespolone cn dla n-tych harmonicznych.
Jest to podwojony środek ciężkości scn wirującej trajektorii z prędkością n*ω0.
Możesz to przyjąć na słowo honoru, ale powinny Cię przekonać
rozdz. 7 teoria
rozdz. 11“Sprawdzenie wzorów…”
Radzę przeczytać komentarz do Rys. 12-1c.
e. składowa rzeczywista, amplitudy zespolonej an, inaczej cosinusoidalna 
f. 
składowa urojona, amplitudy zespolonej bn, inaczej sinusoidalna
Zauważ, że ω0 czyli pulsacja podstawowa funkcji f(t) pojawiają się tylko we wzorach a i b. Nie ma ich natomiast we wzorach d, e, f. Współczynniki an, bn  np. fali prostokątnej zależą tylko od jej amplitudy i stopnia wypełnienia. Nie zależą natomiast od jej pulsacji, częstotliwości lub okresu. Pisałem o tym w rozdziale 7.6.

Rozdział 12.7 Trygonometryczny Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi


Rys. 12-7
Trygonometryczny Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi
a. Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi.
Wynika bezpośrednio ze wzorów
– Rys. 12-6b  gdzie f(t) jest częścią rzeczywistą  funkcji zespolonej  w klamrach Re{…}
Inaczej, funkcja zespolona w klamrach jest sumą wirujących wektorów (an-jbn) i rzut tej sumy jest właśnie funkcją f(t).
b. Pulsacja pierwszej harmonicznej ω0 gdzie T jest okresem funkcji f(t)
c.
Składowa stała a0
d. Składowa n-ta cosinusoidalna an
e. Składowa n-ta sinusoidalna bn

Rozdział 12.8 Zespolony Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi i ujemnymi
Szereg Fouriera bazuje na środkach ciężkości scn trajektorii F(njω0t) wirujących z prędkościami nω0. Są one amplitudami zespolonymi dla tych pulsacji. Poprzednio tj. w rozdz. 12.6 i 12.7 były podwojonymi amplitudami.

Rozdział 12.8.1 Zespolony Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi i ujemnymi dla funkcji testowej f(t).
Jeżeli we wzorze Rys. 12-3e i w animacji Rys. 12-4 każdy pojedynczy wirujący wektor zastąpimy parą wirujących wektorów, to otrzymamy poniższą animację. Np. pojedynczy wirujący wektor Rys. 12-5.1 został zastąpiony parą wirujących wektorów Rys. 12-5.2.

Rys. 12-8
f(t)=(0.2+0.1j)*exp(-3jt)+(0.3-0.2j)*exp(-2jt)+(0.5+0.15j)*exp(-1jt)+0.25+(0.5-0.15j)*exp(+1jt)+(0.3+0.2j)*exp(+2jt)+(0.2-0.1j)*exp(-1jt).
Trzy lewe wektory wirują przeciwnie niż trzy prawe  i tworzą pary przeciwnie wirujących wektorów. Środkowy wektor +0.25 nie wiruje i jest składową stałą a0 funkcji f(t). Funkcja f(t) jest sumą powyższych wirujących wektorów. W odróżnieniu od Rys. 12-4 (z tą samą f(t)!), nie trzeba używać operacji wyłuskiwania części rzeczywistej f(t). Zamiast f(t)=Re{…} piszemy po prostu f(t)=…
Ktoś może się zastanawiać. Po prawej stronie równania wirujące wektory, a po lewej funkcja rzeczywista f(t). Tak jakby po prawej były gruszki a po lewej krowy.  To zsumujmy prawe wektory (łącznie z wektorem stałym a0=+0.25 ściślej a0=(0, +0.25). Otrzymamy lewy pulsujący wektor ze składową stałą a0=+0.25 będący właśnie f(t)! Wszędzie gruszki.

Rys. 12-9
Pulsujący wektor jako f(t) jako suma wirujących wektorów z Rys. 12-8
a.
 Pulsujący na Re z osi rzeczywistej wektor ze składową stałą a0
b. Funkcja f(t) opisująca ruch pulsującego wektora na osi Re z
Jest to dokładnie funkcja z Rys. 12-2. Po lewej stronie równania Rys. 12-4 też jest ta sama funkcja f(t), ale po prawej jest rzut sumy wirujących wektorów, czyli Re z {…}.
Wróćmy jeszcze raz do tematu

Rys. 12-10
a. Zespolony Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi i ujemnymi współczynnikami c(n) dla n=0…+∞.
b. Przykład Zespolonego Szeregu Fouriera z pulsacjami dodatnimi i ujemnymi i z konkretnymi zespolonymi współczynnikami c(n) dla n=0,1,2,3.
np. c(-1)=0.2+0.1j, c(0)=+0.25,  c(1)=0.2-0.1j
Zauważ, że np. c(-1) jest liczbą sprzężoną do c(1)
Współczynniki a(n),b(n)  dla n dodatnich i ujemnych otrzymaliśmy bezpośrednio ze wzoru 12-10b.  Nie trzeba było ich (chociaż można) obliczać.

Rozdział 12.8.2 Zespolony Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi i ujemnymi dla dowolnej funkcji f(t).
Czyli wzór który otrzymamy uogólniając Rys. 12-10a. Przy okazji wyjdzie fajna rzecz. Szereg Fouriera z pulsacjami tylko dodatnimi ma zespolone amplitudy harmonicznych, są podwojonymi środkami ciężkości scn wirujących trajektorii F(njω0).  Teraz już wiemy dlaczego poprzednio scn były podwojone. Bo obsługiwały razy mniejszą liczbę “cięższych”  harmonicznych.

 

Rys. 12-11
a. Zespolony Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi i ujemnymi ze współczynnikami cn
b. 
Zespolony Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi i ujemnymi ze szczegółowymi współczynnikami cn
Zauważ, że każdemu współczynnikowi Fouriera c(+n)=a(n)-jb(n) przy dodatnich  pulsacjach nω0 odpowiada współczynnikowi Fouriera c(-n)=a(-n)+jb(-n).  Współczynniki te są względem siebie liczbami sprzężonymi c(+n)=c(-n)*
c. wzór na zespolony współczynnik c(n) Fouriera. Jest razy mniejszy niż odpowiedni współczynnik c(n) na Szereg Fouriera na Rys. 12-6d
d. wzór na a(n)=a(-n)
e. wzór na b(n)=-b(-n)
Zauważ, że współczynniki  c(n), a(n) i b(n) 2 razy mniejsze od analogicznych c(n), a(n) i b(n) rozdz. 12.6

Rozdział 12.10 Trygonometryczny Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi i ujemnymi.

 

Rys. 12-12
Trygonometryczny Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi i ujemnymi
a. Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi.
Wynika bezpośrednio ze wzorów
– Rys. 12-11b  gdzie f(t) jest częścią rzeczywistą  funkcji zespolonej  w klamrach Re{…}
Rys. 2-9d rozdz. 2
b. Pulsacja pierwszej harmonicznej ω0 gdzie To jest okresem funkcji f(t)
c.
Składowa stała a0
d. 
wzór na a(n)=a(-n)
e.
wzór na b(n)=-b(-n)
Zauważ, że współczynniki  a(n) i b(n) 2 razy mniejsze od analogicznych a(n) i b(n) rozdz. 12.7

Rozdział 12.11 Trygonometryczny Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi i ujemnymi dla dowolnego T.
Często współczynniki an, bn nie zależą od okresu funkcji f(t). Np. dla fali prostokątnej o wypełnieniu 50% są takie same dla okresu T=1sek i T=3sek. Wtedy możemy założyć, że Tπ=2π jak na Rys. 12-12. Zawsze to jeden parametr mniej i łatwiejsze rachunki. Patrz rozdz. 7.7. Ale nie zawsze tak jest. Przekonasz się o tym w artykule “Transformata Fouriera” rozdz. 3.3. Wtedy stosujemy wzór z “ogólnym T

 

Rys. 12-13
Trygonometryczny Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi i ujemnymi dla dowolnego T.
Dla funkcji okresowych całki nie zależą też od przedziału całkowania. Są takie same dla 0…T, –T/2…+T/2 czy też dla  -T/4…+T3/4. Wtedy możemy zastosować np. poniższy wzór.

Rys. 12-14
Trygonometryczny Szereg Fouriera z pulsacjami dodatnimi i ujemnymi dla przedziału –T/2…+T/2.
Taki przedział może nam czasami ułatwić rachunki.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Scroll to Top