Podstawy Automatyki

Rozdz. 12 Całkowanie
Rozdz. 12.1 Wstęp
Są całki nieoznaczone i oznaczone.

Rozdz. 12.2 Całka nieoznaczona F(t) z funkcji f(t)
Całka nieoznaczona z funkcji f(t) jest tzw. funkcją pierwotną F(t) i często nazywa się po prostu całką.

Rys. 12-1
Pochodną funkcji pierwotnej F(t) jest sama funkcja f(t) 

Rys. 12-2
Całkowanie i Różniczkowanie są działaniami wzajemnie odwrotnymi. Całkowanie jako obliczanie funkcji pierwotnej F(t) jest pewną biegłością, którą nabierają studenci pierwszego roku. Potrzebna jest do obliczania tzw. całek oznaczonych. Będą one omówione za chwilę. Zwykle na wyższych latach pamięta się tylko najprostsze całki inaczej funkcje pierwotne . Jest to słuszne podejście, bo zawsze można wrócić do notatek z wykładów.
W krótkich żołnierskich słowach. Funkcja pierwotna z pochodnej funkcji jest właśnie tą funkcją (Rys. 12-2c).

Rozdz. 12.3 Całka oznaczona z funkcji x(t)
Rozdz. 12.3.1 Wstęp
W automatyce mamy bardziej do czynienia z całką oznaczoną niż nieoznaczoną. Ta ostatnia jako funkcja pierwotna służy do bardzo łatwego obliczania wartości całki oznaczonej.
Rozdz. 12.3.2 Całka oznaczona z funkcji x(t) jako pole pod funkcją x(t)

Rys. 12-3
Całka oznaczoną od t1 do t2 jest pole S pod funkcją x(t). Jest to więc konkretna liczba np. S=27.13. Dla naszych potrzeb nieco zawęzimy tę definicję. W automatyce zwykle coś zaczyna się w czasie t=0 i trwa do czasu t. Np. sygnał wejściowy x(t) może być skokiem jednostkowym albo piłą. Przyjmuje się więc, że że dla t<0 (ujemnego!) sygnał x(t)=0.–>Rys. 12-3.

Rys. 12-4
Jest to więc wersja z Rys. 12-3 której t1=0 i t2=t. Przy takim podejściu całka oznaczona staje się funkcją y(t) a nie konkretną liczbą.
A teraz najważniejsze. Jak obliczamy pola na Rys. 12-3 i Rys. 12-4. A no tak.

Rys. 12-5
F(t1) i F(t2) na Rys. 12-2a to wartości funkcji pierwotnych, czyli całek nieoznaczonych dla t1 i t2.
Samo F(t1) możemy traktować też jako pole na lewo od t1 i analogicznie F(t2) jako pole na lewo od t2. Przy takim podejściu wzór z Rys. 12-2a jako różnica pól jest oczywisty.
A na Rys. 12-2b już samo F(t) jest po prostu funkcją pierwotną! W następnych 2 doświadczeniach sprawdzimy czy tak jest. Czy teoria zgadza się z praktyką?
Rozdz. 12.3.3 Całka oznaczona z funkcji która jest skokiem jednostkowym x(t)=1(t)
Dlaczego akurat skok jednostkowy x(t)=1(t)? Bo już nie ma prostszej funkcji i łatwo z niej wyliczyć całkę oznaczoną = pole S.
Potraktujmy całkę oznaczoną jako wyjście y(t) członu całkującego którego wejściem jest x(t)=1(t). Okaże się że y(t)=t(t).

Rys. 12-6
Wejściem członu całkującego jest skok jednostkowy x(t)=1(t) a jego wyjściem jest całka y(t)=t(t)
Przypominam, że:
1(t)=0 dla t<0 i 1(t)=1 dla t>0
t(t)=0 dla t<0 i t(t)=t dla t>0 czyli t(t) jest tzw. piłą
Całka oznaczona od 0 do t dowolnej funkcji, jest polem pod wykresem tej funkcji.
Tu x(t)=1(t) jest bardzo proste i łatwo liczy się pole pod funkcją jako pole prostokąta o bokach h=1 i t. Dla dowolnego t>0 pole y(t)=t(t)=t.
Np. dla t=5 y(t)=5. Czyli teoria zgadza się z praktyką.

Rys. 12-7
Czyli w skrócie “pochodna z całki oznaczonej w zakresie 0…t jest funkcją podcałkową.
Rys. 12-7a
[t(t)]’=1(t)  czyli pochodna z całki jest funkcją podcałkową
Rys. 12-7b
Uogólnienie poprzedniego
Zamiast funkcji t(t) jest po prostu ogólna f(t)
Rys. 12-7c
Ostatecznie
Całka oznaczona z pochodnej czyli f'(t) jest funkcja f(t). Czyli różniczkowanie jest odwrotne do całkowania.
Rozdz. 12.3.4 Całka oznaczona z funkcji która jest piłą x(t)=0.2*t
Dla piły da się wyliczyć całkę oznaczoną jako pole trójkąta. Sprawdzimy więc, czy wyjście z członu całkującego jest całką oznaczoną.

Rys. 12-8
Wejściem członu całkującego jest „piła”, inaczej sygnał narastający liniowo, tu wg wzoru x(t)=0.2*t.
Całkę oznaczoną z x(t) obliczymy jako pole trójkąta o podstawie t i wysokości x(t)=0.2*t.
Tu np. dla t=9sek piła x(t)=0.2*9=1.8 i pole trójkąta S=0.1t²=8.1
Teoria zgadza się z praktyką. Sygnał za członem całkującym jest parabolą o podanym wzorze i dla np. t=9 sygnał wyjściowy y(t)=8.1.
Rozdz. 12.3.5 Całka oznaczona z funkcji którą jest “machanie suwakiem”. Inaczej sterowanie ręczne typu I
Całka oznaczona jest zawsze polem pod funkcją od czasu t=0 do czasu t.
Nawet gdy funkcja jest bardziej skomplikowana tak jak poniżej. Całka może być dodatnia, zerowa lub ujemna.

Rys. 12-9
Zaobserwuj sygnał wyjściowy y(t) w zależności od zmieniającego się położenia suwaka x(t).
Przekonasz się że:
– Im bardziej dodatnie x(t) tym szybciej narasta y(t)
– Im bardziej ujemne x(t) tym szybciej maleje y(t)
– x(t)=0 to zatrzymanie y(t) na ostatnim poziomie.
To utwierdza nas w przekonaniu, że x(t)=y'(t). Mówiąc nieprecyzyjnie za to trafnie „x(t) jest pochodną całki” lub „kólka z Rys. 12-7 są prawdziwe”.
W moim doświadczeniu 52 sekundzie gdy y(t)=0 wtedy pole dodatnie x(t) równe jest polu ujemnemu (pole liczone do t=52 sek.)

Rozdz. 12.4 Podsumowanie

Rys. 12-10
Symbole członu całkującego

Rys. 12-11
Wyjście y(t) jest całką wejścia x(t)
lub Wejście x(t) jest pochodną wyjścia y(t).