11. Sprawdzenie wzorów na Szereg Fouriera programem Wolfram Alfa

Wirujące Szeregi Fouriera

Rozdział 11. Sprawdzenie wzorów na Szereg Fouriera programem Wolfram Alfa

Rozdział 11.1 Wstęp
Moim głównym celem jest przekonanie Czytelnika do poniższych wzorów dokładnie omówionych w rozdz. 7.2. Nie są łatwe, ale mam nadzieję, że duża ilość przykładów z animacjami pomogła nieco. Wiadomo, że środek ciężkości scn trajektorii dla danej prędkości obrotowej nω0, to już prawie n-ta harmoniczna. Wzór Rys. 11-1b na ogół zgadza się z intuicją, zwłaszcza dla scn=(0,0) gdy harmonicznej dla nω0 nie ma. Właśnie, zgadzał się z intuicją, ale nie był obliczany. Teraz skorzystamy z programu WolframaAlfa z internetu. Nic nie musisz instalować, ani płacić. Przy okazji się z nim zapoznasz. Szkoda, że jako student w latach 60-tych nie mogłem z niego korzystać.

Rys. 11-1
Wzory do zapamiętania z rozdz. 7.
Sprawdzimy je programem WolframAlfa. Potem będą bardziej zjadliwe.
Rys. 11-1a
Trajektoria F(njω0t)
Punkt porusza się na osi rzeczywistej Re Z zgodnie z funkcją okresową f(t) a płaszczyzna Z wiruje z ω=-nω0. W ten sposób rysowana jest trajektoria F(njω0t).
Rys. 11-1b
Wzór na środek ciężkości scn trajektorii F(njω0t).
Funkcją podcałkową jest trajektoria F(njω0t). Całkę (podzieloną przez T) możemy traktować jako punkt scn średnio odległy trajektorii F(njω0t) od początku współrzędnych (0,0) w czasie T sek. Tak jak Ziemia krąży wokół Słońca, tak trajektoria F(njω0t) krąży wokół “środka ciężkości” scn.
Rys. 11-1c
Wzór na składową stałą c0=a0 szeregu Fouriera. Klasyczna średnia funkcji okresowej f(t), gdy n=0 we wzorze Rys. 11-1b.
Rys. 11-1d
Wzór na na pozostałe  n-te współczynniki szeregu Fouriera cn dla ω=1ω0, ω=2ω0…ω=nω0.
Inaczej, n-ta amplituda zespolona harmonicznej hn(t)
Rys. 11-1e
cn jako wektor (liczba zespolona) o składowych an oraz jbn
Rys. 11-1f
cn w wersji wersji algebraicznej
cn=an-jbn
Rys. 11-1g.
cn w wersji wersji wykładniczej
cn=|cn|*exp(-jϕn)
Wyraźnie widać moduł |cn| i fazę  ϕn dla pulsacji ω=nω0.
Rys. 11-1h
n-ta harmoniczna hn(t) jako suma składowej cosinusoidalnej i sinusoidalnej.
Rys. 11-1i
n-ta harmoniczna hn(t) jako cosinus z przesunięciem fazowym ϕ
Moduł |cn|, inaczej moduł |cn| jest “pitagorasem” z an i bn, zaś tg(ϕ)=bn/an.

Rozdział 11.2 Program WolframaAlfa
Sprawdzimy nim wzory na środki cięzkości scn poznanych trajektorii. Większość tego typu programów ma jedną wadę. Aby rozwiązać problem, musisz go ściśle zdefiniować. Pomylisz się w postawieniu kropki i już pojawia się “error” lub inny trudny do zrozumienia komunikat. WolframAlfa jest taki mądry, że wystarczy mu zadać pytanie ogólne, a on poda wiele odpowiedzi. Tym więcej, im bardziej ogólne było pytanie. Wybierzesz tę odpowiedź, która Ci najbardziej pasuje. Dzięki temu nie musisz się pamiętać wszystkich instrukcji WolframAlfa i możesz całkowicie skupić się na problemie.
Chcemy np. rozwiązać równanie 2x+3=7.
1. Należy wywołać program z internetu.
2. Wpisać do okienka 2x+7=3.
3. Program nie bardzo wie, o co Ci chodzi. Na wszelki wypadek narysuje wykres i poda rozwiązanie x=–2. Tobie zależało na tym ostatnim.
Uwaga:
Po wywołaniu programu wyjdziesz z tego bloga. Aby do niego powrócić, kliknij windowsową strzałkę powrotu –>.
Kliknij https://www.wolframalpha.com i rób co każe poniższy obrazek.

Rys. 11-2
Jak WolframAlfa rozwiązał równanie 2x+7=3?
Dla Ciebie najważniejsze jest rozwiązanie–> solution x=–2. A wykres jako dodatkowa odpowiedź nie zaszkodzi.
To był elementarz. Ciekawe, jak WolframAlfa poradzi sobie z całkowaniem? Zwłaszcza z całkowaniem wektorów albo liczb zespolonych.
Obliczmy teraz środki ciężkości i przy okazji n-te harmoniczne dla kliku poznanych funkcji okresowych f(t). Wcześniej musiałeś przyjąć środki ciężkości scn na wiarę. Teraz je obliczysz.

Rozdział 11.3 Środek ciężkości sc1 trajektorii F(jnω0t)=F(-1j1t)=1*exp(-1j1t)
Rozdział 11.3.1 Wstęp
Czyli dla funkcji stałej f(t)=1. z p. 7.4.1 rozdz.7. Jest to funkcja okresowa, bo co okres T funkcja się powtarza. Mało tego, co dowolny okres T!

Rys. 11-3
Funkcja zespolona 1exp(-1j1t) jako trajektoria i jej “środek ciężkości” sc.
Rys. 11-3a
Funkcja zespolona 1exp(-1j1t) jako wirujący wektor.
Kliknij. W ciągu okresu T=2π/ω≈6.28sek wektor wykona jeden obrót. A gdybyśmy w czasie obrotu sumowali kolejne wektory?
Rys. 11-3b
Okrąg jako ślad po wirującym wektorze czyli trajektoria 1exp(-1j1t).
Rys.11-3c
Wzór na środek ciężkości scn trajektorii funkcji. Gdy np. n=1 to wzór Rys.11-3c (1/2π)*exp(-1jω0t) dla ω0=-1/sek.
Już bez obliczeń widać, że środkiem ciężkości jest sc1=(0,0). Czy wzór Rys.11-1b to potwierdzi?

Rozdział 11.3.2 WolframAlfa
Obliczmy środek ciężkości sc1 trajektorii F(-1j1t)=f(t)*exp(-1j1t).
Kliknij https://www.wolframalpha.com i rób co każe obrazek.
Zamiast pracowicie wpisywać instrukcję, możesz ją po prostu skopiować
integrate 1*exp(-i1t)/(2pi) from t=0 to t=2pi
i wkleić do okienka.
Innymi słowy, do okienka wkleisz wzór całkowy Rys. 11-1b zapisany w języku WolframAlfa. Pamiętaj, że liczbą urojoną dla WolframAlfa jest “matematyczne i“, a nie “elektryczne j” używane w blogu.

Rys. 11-4
Środek ciężkości sc1=(0,0) trajektorii F(-1j1t)=1exp(-1j1t)
Tak jak się spodziewaliśmy, środek ciężkości sc1=0 a ściślej sc1=(0,0), bo jest to liczba zespolona. Miły jest ten Wolframik. Np. Instrukcję z okienka zamienia na ludzki, czyli matematyczny język. Widać to przy strzałce “3. A oto wynik”.
Powracając do wyniku sc1=0, to co z niego wynika? A no to, że amplituda pierwszej harmonicznej c1 dla harmonicznej 1ω0=1/sek jest zerowa, bo cn=2*sn. Czyli nie ma harmonicznej o pulsacji ω=1/sek, ani także dla każdej innej pulsacji ω. Tego się spodziewaliśmy i jedyną składową funkcji stałej f(t)=1 jest składowa stała c0=1.

Rozdział 11.4 Środki ciężkości scn trajektorii F(-njω0t)=0.5cos(4t)*exp(-njω0t) dla n=0, 1, 4 i ω0=1/sek
Rozdział 11.4.1 Wstęp
Jest to skrócona wersja rozdziału 4, w którym było 9 wersji tej trajektorii dla n=0…9. Teraz są tylko 3 wersje dla n=0,1 i tylko tylko te wzory sprawdzimy rachunkowo.
Wrzućmy do wirówki funkcję f(t)=0.5cos(4t).
Włączmy obroty na n=0, n=1 i n=4. Czyli na prędkość ω=0 (wirówka stoi!), ω=-1/sek i ω=-4/sek.
Powstaną 3 trajektorie:
n=0–>ω=0–>wirówka stoi–>F(-0j1t)=0.5cos(4t)
n=1–>ω=-1/sek –>F(-1j1t)=0.5cos(4t)*exp(-1j1t)
n=4–>ω=-4/sek –>F(-4j1t)=0.5cos(4t)*exp(-4j1t)

Rys. 11-5
Trzy trajektorie F(-nj1t)=0.5cos(4t)*exp(nj1t) dla n=0, 1 i 4
ω=0
Wirówka stoi, bo ω=0 i sc0=(0,0)
ω=-1/sek
Wirowanie ω=-1/sek i sc1=(0,0)
ω=-4/sek
Wirowanie ω=-4/sek i sc4=(0.25,0)
Powyższe parametry sc0, sc1 i sc0,, choć intuicyjne, były przyjęte na “słowo honoru”. Teraz obliczymy je programem WolframAlfa. Wyniki powinny być takie same.

Rozdział 11.4.2 Środek ciężkości sc0, czyli dla ω=0, czyli składowa stała sc0=c0=a0.
Czyli gdy wirówka stoi, bo n=0
Wtedy trajektoria F(-0j1t)=f(t)=0.5cos(4t)
Z animacji Rys. 11-4a ω=0 wynika, że trajektorią jest bujająca się w poziomie linia wg. funkcji f(t)=0.5cos(4t). Jej środkiem ciężkości jest ewidentnie sc0=(0,0). Czy WolframAlfa to potwierdzi? Wstawmy f(t)=0.5cos(4t) do wzoru Rys. 11-1c i obliczmy tą całkę.
Kliknij https://www.wolframalpha.com i rób co każe obrazek.
Do okienka wpisz lub wklej integrate 0.5cos(4t)/(2pi) from t=0 to t=2pi

Rys. 11-6
Obliczenie środka ciężkości sc0 dla F(0j1t)=0.5cos(4t)*exp(-0j1t)=0.5cos(4t)
sc0=0
Zauważ, że chociaż okresem podstawowym f(t) jest T=π/2,to wynik sc0=0 dla granic całkowania T=π/2 i T=2π będzie taki sam!
Granice całkowania we wzorze Rys. 11-1c mogą być dowolne i wynik będzie taki sam dla np. T=0.234 sek, T=5.27 sek czy T=2π sek jak w powyższym wzorze! Ważne tylko, żeby T było okresem funkcji. Uwaga ta jest bardziej ogólna i dotyczy wzorów na Szereg Fouriera we wzorze Rys. 11-1b. Jedni podają dowolne granice całkowania T, a inni tak jak ja, konkretne T=2π. Współczynniki Fouriera np. fali prostokątnej nie zależą przecież od okresu T, tylko od kształtu tej fali!. Środek ciężkości sc0 dla trajektorii każdej funkcji f(t) jest jednocześnie składową stałą tej funkcji i jest współczynnikiem c0=a0 szeregu Fouriera. W odróżnieniu od pozostałych współczynników Fouriera tj. c1, c2…cn, współczynnik c0 jest zawsze liczbą rzeczywistą.

Rozdział 11.4.3 Środek ciężkości sc1, czyli dla ω=-1/sek.
Czyli sc1 trajektorii F(-1j1t)=0.5cos(4t)*exp(-1j1t) z Rys.11-5 ω=-1/sek
Szukamy harmonicznej o pulsacji ω=1/sek z funkcji f(t)=0.5cos(4t). Oczywiste jest, że nie istnieje. Przecież jedyną harmoniczną f(t) jest ona sama, czyli 0.5cos(4t). Wynika to także z Rys. 11-4 ω=-1/sek, w którym sc1=(0,0). Czy WolframAlfa to potwierdzi?
Kliknij https://www.wolframalpha.com i rób co każe obrazek.
Do okienka wpisz lub wklej integrate [0.5cos(4t)/(2pi)]*exp(-1i1t) from t=0 to t=2pi

Rys. 11-7
Środek ciężkości sc1=0 trajektorii 0.5cos(4t)*exp(-1j1t)
Amplituda c1=0 dla harmonicznej ω=1/sek bo c1=2sc1=0. Czyli nie ma takiej harmonicznej.
Jak się przekonałeś w Rozdziale 4, środki ciężkości dla wszystkich ω różnych od 4/sek (czyli od ω funkcji 0.5cos(ωt)) są zerowe. Jest to jak, mówił klasyk, oczywista oczywistość. Przecież funkcja 0.5cos(4t) ma tylko jedną harmoniczną i jest nią ona sama! Pozostałe harmoniczne są zerowe.

Rozdział 11.4.4 Środek ciężkości sc4, czyli dla ω=-4/sek.
Czyli sc4 trajektorii F(-4j1t)=0.5cos(4t)*exp(-4j1t) z Rys.11-4 ω=-4/sek
Szukamy harmonicznej o pulsacji ω=4/sek z funkcji f(t)=0.5cos(4t). Chyba każdy widzi tą harmoniczną. Jest nią ona sama 0.5cos(4t).
Funkcja f(t)=0.5cos(4t) obraca się zegarowo z prędkością ω=-4/sek. Zauważ, że f(t) i wirówka mają takie ω=4/sek (choć przeciwne znaki)! Spowodowało to przesunięcie środka ciężkości z sc=(0,0) na sc4=(+0.25,0).
Aby sprawdzić rachunkowo kliknij https://www.wolframalpha.com i rób co każe obrazek.
Do okienka wpisz lub wklej integrate [0.5cos(4t)]*exp(-i4t)/(2pi) from t=0 to t=2pi.

Rys. 11-8
Środek ciężkości sc4=0.25 a ściślej sc4=(0.25,0) trajektorii 0.5cos(4t)*exp(-4j1t)
Okaże się, że dla każdej prędkości wirowania ω funkcji 0.5cos(4t)/(2pi) różnej od ω=4/sek środek ciężkości scn=(0,0), a tylko dla ω=4/sek jest niezerowe sc4=(+0.25,0)!
Wg. wzoru Rys. 11-1d
c4=2*sc4=(+0.5,0) czyli a4=0.5 i b4=0
Wg. wzoru Rys. 11-1h
h4(t)=0.5cos(4t).

Rozdział 11.5 Środki ciężkości scn trajektorii F(-njω0t)=[1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)]*exp(-njω0t)
czyli F(-njω0t) dla n=0,2,3,4 i ω0=1/sek
Rozdział 11.5.1 Wstęp
Jest to skrócona wersja rozdziału 5, w którym było 9 trajektorii dla n=0…9. Teraz będą tylko 4 dla n=0,2,3 i 4.
Wrzućmy do wirówki funkcję f(t)=1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)
Włączmy obroty na ω=0, ω=-2/sek, ω=-3/sek, i  ω=-4/sek.
Powstaną 4 trajektorie:
n=0–>ω=0–>wirówka stoi–>F(0j1t)=1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)
n=1–>ω=-2/sek    –>F(-1j1t)=[1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)]*exp(-2j1t)
n=3–>ω=-3/sek    –>F(-3j1t)=[1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)]*exp(-3j1t)
n=4–>ω=-4/sek   –>F(-4j1t)=[1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)]*exp(-4j1t)

Rys. 11-9
Cztery trajektorie F(-nj1t)=[1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)]*exp(-nj1t) dla n=0, 1, 2 i 4 i ich środki ciężkości scn.
Pokazano przebiegi w czasie jednego okresu T=2π sek odpowiadającemu pulsacji pierwszej harmonicznej a1cos*cos(1t), dla której a1=0. Czyli nie ma jej w f(t). Przebiegi ω=-2/sek i ω=-4/sek “rysowane są na sobie” i dlatego pozornie zatrzymały się po 1π sek.
ω=0
Wirówka stoi i sc0=(1.3,0)
ω=-2/sek
Wirowanie ω=-2/sek i sc2=(0.35,0)
ω=-3/sek
Wirowanie ω=-3/sek i sc3=(0,0)
ω=-4/sek
Wirowanie ω=-4/sek i sc4=(0.5,0)
Środki ciężkości scn są w miarę intuicyjne, ale w rozdziale 5 były ujęte bez uzasadnienia.
Teraz obliczymy je wg. wzoru Rys. 1-11b programem WolframAlfa. Wyniki powinny być takie same.

Rozdział 11.5.2 Środek ciężkości sc0 dla ω=0.
Czyli sc0 trajektorii F(-0j1t)=[1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)] z Rys.11-9 ω=0. Wirówka stoi. Trajektorią jest koniec bujającej się w poziomie linii wg. funkcji F(-0j1t)=f(t)=1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t). Jej środkiem ciężkości jest sc0=(1.3,0)=1.3.
Obliczmy sc0=c0=a0 czyli składową stałą wg Rys. 1-11c.
Kliknij https://www.wolframalpha.com i rób co każe obrazek.
Do okienka wpisz lub wklej instrukcję WolframAlfa dla w.w całki , czyli integrate [1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)]/(2pi) from t=0 to t=2pi

Rys. 11-10
Obliczenie środka ciężkości sc0 dla F(0j1t)=[1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)]/(2pi)
Środek ciężkości sc0=(1.3,0)=1.3 dla niewirującej trajektorii funkcji f(t) jest jej składową stałą, czyli współczynnikiem c0=a0 szeregu Fouriera.

Rozdział 11.5.3 Środek ciężkości sc2 dla ω=2/sek.
Czyli sc2 trajektorii F(-2j1t)=[1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)]*exp(-2j1t) dla z Rys.11-9 ω=-2/sek
Kliknij https://www.wolframalpha.com.
Do okienka wpisz lub wklej integrate [1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)]*exp(-2i1t)]/(2pi) from t=0 to t=2pi

Rys. 11-11
Obliczenie środka ciężkości sc2 dla F(2j1t)=[1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)]*exp(-2j1t)/(2pi)
Środek ciężkości sc2=(0.35,0)=0.35, czyli amplituda drugiej harmonicznej to c2=2*(0.35,0]=(0.7,0).czyli a2=0.7 b2=0
Druga harmoniczna to h2(t)=0.7*cos(2t) wg. wzoru Rys. 11-1e.

Rozdział 11.5.4 Środek ciężkości sc3 dla ω=3/sek.
Czyli sc3 trajektorii F(-3j1t)=[1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)]*exp(-3j1t) z Rys.11-9 ω=-3/sek.
Kliknij https://www.wolframalpha.com i rób co każe obrazek.
Do okienka wpisz lub wklej integrate [1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)]*exp(-3j1t) from t=0 to t=2pi

Rys. 11-12
Obliczenie środdka ciężkości sc3 trajektorii [1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)]*exp(-3j1t)/(2pi)
Środek ciężkości sc3=(0,0)=0, czyli amplituda trzeciej harmoniczna c3=2*0=0
Trzecia harmoniczna nie istnieje. Nie istnieje także 5,6,7… harmoniczna. Widać to oczywiście w samej funkcji f(t), ale możesz sprawdzić to programem WolframAlfa.

Rozdział 11.5.5 Środek ciężkości sc4 dla ω=4/sek.
Czyli sc4 trajektoriii F(-4j1t)=[1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)]*exp(-4j1t) dla Rys.11-9 ω=-4
Kliknij https://www.wolframalpha.com.
Do okienka wpisz lub wklej integrate [1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)]*exp(-4i1t)]/(2pi) from t=0 to t=2pi

Rys. 11-13
Obliczenie środka ciężkości sc4 dla F(4j1t)=[1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)]*exp(-4j1t)/(2pi)
Środek ciężkości sc4=(0.25,0)=0.25, czyli amplituda czwartej harmoniczna c4=2*0.25=0.5 a4=0.5 b4=0
Czwarta harmoniczna to h4(t)=0.5*cos(4t) wg. wzoru Rys. 1-11h.

Rozdział 11.6 Środki ciężkości scn trajektorii f(4j1t)=0.5cos(4t-30°)*exp(-4j1t) dla ω=4/sek
czyli z całkowicie zespolonym środkiem ciężkości scn
Do tej pory środki ciężkości scn harmonicznych z funkcji f(t) były liczbami rzeczywistymi np. Rys. 11-9 ω=–2/sek –->sc2=(+0.35,0)=+0.35. Są to także liczby zespolone, ale z zerowymi składowymi urojonymi. A co będzie gdy funkcja cosinus będzie miała przesunięcie fazowe.
Wrzućmy więc do wirówki np. f(t)=0.5cos(4t-30°).
Włączmy obroty na n=0, n=1 i n=4.
Powstaną 3 trajektorie:
n=0–>ω=0–>wirówka stoi–>F(-0j1t)=0.5cos(4t-30°)
n=1–>ω=-1/sek –>F(-1j1t)=0.5cos(4t-30°)*exp(-1j1t)
n=4–>ω=-4/sek –>F(-4j1t)=0.5cos(4t-30°)*exp(-4j1t)

Rys. 11-14
F(4j1t)=0.5cos(4t-30°)*exp(-jnt) dla n=0,1,4
Animacja trwa T≈6.28sek.
ω=0
F(0j1t)=0.5cos(4t-30°)
Różnica między animacją Rys. 11-5 ω=0 jest minimalna, ale spróbuj ją zauważyć.
ω=-1/sek.
F(4j1t)=0.5cos(4t-30°)*exp(-j1t)
Trajektoria obrócona jest o (podejrzewam) -30° względem Rys. 11-5 ω=-1/sek. Środek ciężkości sc=(0,0).
Oznacza to, że nie istnieje harmoniczna funkcji f(t)=0.5cos(4t) dla ω=1/sek. Także dla każdej innej, oprócz ω=4/sek.
ω=-4/sek.
F(4j1t)=0.5cos(4t-30°)*exp(-j4t)
Trajektoria obrócona jest o ϕ=-30° względem Rys. 11-5 ω=-4/sek.
Środek ciężkości sc5 jest pełną gębą liczbą zespoloną sc4=(a,b) gdzie:
a=0.25cos(-30°)≈+0.217
b=0.25sin(-30°)≈-0.125
sc=(a,b)≈(+0.217,-0.125)=+0.217-j0.125
Czyli zespolona czwarta harmoniczna h4(t)≈2*sc≈2*(+0.217-j0.125)*exp(j4t). Odpowiada ona funkcji f(t)=0.434cos(4t)+0.25sin(4t)=0.5cos(4t-30°) wg. wzorów Rys.11-1 h oraz Rys.11-1 i
Co na to WolframAlfa?
Kliknij https://www.wolframalpha.com.
Do okienka wpisz lub wklej integrate [0.5cos(4t-pi/6)]/(2pi)*exp(-4i1t) from t=0 to t=2pi
Uwaga -30° to -π/6 w radianach

Rys. 11-15
sc4=0.216506-j0.125
Taki środek ciężkości sc4 trajektorii F(4j1t)=0.5cos(4t-30°)*exp(-j4t) policzył WolframAlfa. Wynik podobny do naszego, tylko dokładniejszy. Zwróć uwagę na to że sc4 jest liczbą w pełni zespoloną. Tak jest, gdy wirująca funkcja typu cosinus/sinus ma niezerowe przesunięcie fazowe ϕ. Tu ϕ=-30°=-π/6.
Ciekawostka
Porównaj animacje Rys. 11-13 ω=-1/sek i ω=-4/sek.
ω=-1/sek
Czterolistna koniczynka
ω=-4/sek
To też jest pewnego rodzaju ileśtamlistna koniczynka z tym że:
Każdy listek jest okręgiem i jest rysowany “jeden na drugim”.
Co do “ileśtamlistna”, to podejrzewam, że też czterolistna.

Rozdział 11.7 Środki ciężkości scn trajektorii
F(-njω0t)=[0.5+1.08*cos(1t-33.7°)+0.72*cos(3t+33.7°)+0.45*cos(5t-26.6°)]*exp(-njω0t)
dla n=0,1,2,…8 i ω0=1/sek
Rozdział 11.7 .1 Wstęp
Sama funkcja f(t) o okresie T=2πsek wygląda tak i nie widać w niej składowych, czyli trzech cosinusoid z różnymi fazami ϕ.

Rys. 11-16
f(t)=0.5+1.08*cos(1t-33.7°)+0.72*cos(3t+33.7°)+0.45*cos(5t-26.6°)
W Rozdziale 6 badaliśmy 9 trajektorii F(-njω0t) tej funkcji f(t) dla n=0,1,2,…8 i ω0=1/sek. Jest ona o tyle ciekawa, że ze względu na przesunięcia fazowe ϕ, środki ciężkości scn są liczbami całkowicie zespolonymi. Funkcja f(t) jest równoważna poniższej, w której każda harmoniczna została rozłożona na składową cosinusoidalną i sinusoidalną
f(t)=0.5+0.9*cos(1t)+0.6*sin(1t)+0.6*cos(3t)-0.4*sin(3t)+0.4*cos(5t)+0.2*sin(5t).
Np. 0.9*cos(1t)+0.6*sin(1t)=1.08*cos(1t-33.7°)
Jest to ta sama funkcja, ale tu łatwo wyznacza się zespolone współczynniki Fouriera, inaczej zespolone amplitudy Fouriera.
Z nich odczytuje się harmoniczne jako przebiegi czasowe h1(t),h2(t) i h3(t) o składowych sinus/cosinus.
c1=0.9-j0.6—>h1(t)=0.9*cos(1t)+0.6*sin(1t)
c3=0.6+j0.4–>h3(t)=0.6*cos(3t)-0.4*sin(3t)
c5=0.4-j0.2—>h5(t)=0.4*cos(5t)+0.2*sin(5t)
Uwaga:
Obie postacie funkcji f(t) są równoważne, ale do obliczeń przyjmiemy wersję z “cosinusami i sinusami”
Funkcje f(t) włożymy do wirówki z różnymi prędkościami nω0=-n*1/sek dla n=0,1,2,3 i 5. Sprawdzimy czy obliczone środki ciężkości scn są takie same jak w Rozdziale 6.

Rozdział 11.7.2 Środki ciężkości scn trajektorii F(-njω0t)=f(t)*exp(-njω0t) dla n=0, 1,2, 3, 5 i ω0=1/sek
Wrzućmy do wirówki funkcję z Rys.11-15. Przypominam, że można ją przedstawić też w wersji sinus/cosinus tj: f(t)=0.5+0.9*cos(1t)+0.6*sin(1t)+0.6*cos(3t)-0.4*sin(3t)+0.4*cos(5t)+0.2*sin(5t).
Włączmy obroty na n=0, 1, 2, 3 i 5. Czyli na prędkości ω=0 (wirówka stoi!), ω=-1/sek ,ω=-2/sek, ω=-3/sek i ω=-5/sek.
Powstanie 4 trajektorii:
ω=0–>wirówka stoi–>F(-0j1t)=f(t)
ω=-1/sek –>F(-1j1t)=f(t)*exp(-1j1t)
ω=-2/sek –>F(-2j1t)=f(t)*exp(-2j1t)
ω=-3/sek –>F(-3j1t)=f(t)*exp(-3j1t)
ω=-5/sek –>F(-5j1t)=f(t)*exp(-5j1t)

Rys. 11-17
5 trajektorii F(-nj1t)=f(t)*exp(nj1t) dla n=0,1,2,3 i 5 ω=0 i ich środki ciężkości scn
ω=0
Wirówka i sc0=(+0.5,0)
ω=-1/sek
Wirowanie ω=-1/sek i sc1=(+0.45,-0.3)
ω=-2/sek
Wirowanie ω=-2/sek i sc2=(0,0)
ω=-3/sek
Wirowanie ω=-3/sek i sc3=(+0.3,+0.2)
ω=-5/sek
Wirowanie ω=-5/sek i sc5=(+0.2,-0.1)
Przypominam, że wektor scn to już prawie n-ta harmoniczna okresowej funkcji f(t). Ściślej wektor 2*scn jest zespoloną amplitudą n-tej harmonicznej. W okresie T=2π każdą trajektorię rysuje zmieniający się wektor i scn jest średnią tych zmieniających się wektorów w okresie T=2π, czyli ich sumą podzieloną przez 2π.
Środki ciężkości scn obliczymy programem WolframAlfa. Wyniki powinny być identyczne.

Rozdział 11.7.3 Środek ciężkości sc0, czyli dla ω=0
Trajektoria F(-0j1t)=f(t) z Rys.11-16 ω=0.
Wirówka stoi. Trajektorią jest koniec bujającej się w poziomie linii na Rys.11-16 ω=0 wg. funkcji F(-0j1t)=f(t). Jej środkiem ciężkości jest sc0=(+0.5,0)=+0.5.
Wstawmy f(t) do wzoru Rys. 11-1c.
Do okienka wpisz lub wklej instrukcję WolframAlfa dla w.w całki , czyli
integrate [0.5+0.9*cos(1t)+0.6*sin(1t)+0.6*cos(3t)-0.4*sin(3t)+0.4*cos(5t)+0.2*sin(5t)]/(2pi) dt from t=0 to t=2pi
Kliknij https://www.wolframalpha.com i rób co każe obrazek.

Rys. 11-18
Obliczenie środka ciężkości sc0 dla F(0j1t)=f(t)/(2pi)
Środek ciężkości sc0=(0.5,0)=a0=0.5 dla niewirującej trajektorii funkcji f(t) jest jej składową stałą, czyli współczynnikiem c0=a0 szeregu Fouriera.

Rozdział 11.7.4 Środek ciężkości sc1 dla ω=1/sek.
Trajektoria F(-1j1t)=f(t)*exp(-1j1t) z Rys.11-16 ω=-1/sek
Do okienka wpisz lub wklej
integrate [0.5+0.9*cos(1t)+0.6*sin(1t)+0.6*cos(3t)-0.4*sin(3t)+0.4*cos(5t)+0.2*sin(5t)]*exp(-1i1t)]/(2pi) dt from t=0 to t=2pi
Kliknij https://www.wolframalpha.com.

Rys. 11-19
Trajektoria F(-1j1t)=f(t)*exp(-1j1t)
Uwaga:
W okienku widzisz tylko końcówkę wyrażenia które wkleiłeś.
sc1=0.45-j0.3
Zespolona amplituda pierwszej harmonicznej to 2*sc1=0.9-j0.6
Czyli pierwsza harmoniczna wg Rys. 11-1h i Rys. 11-1i to h1(t)=0.9cos(1t)+0.6sin(1t)=1.08*cos(1t-33.7°).
Sukces! WolframAlfa idealnie odfiltrował pierwszą harmoniczną z funkcji okresowej f(t).
Tego samego spodziewamy się w następnych rozdziałach
|
Rozdział 11.7.5 Środek ciężkości sc2 dla ω=2/sek.
Trajektoria F(-2j1t)=f(t)*exp(-2j1t) z Rys.7-18 ω=-2/sek
Do okienka wpisz lub wklej
integrate (0.5+0.9*cos(1t)+0.6*sin(1t)+0.6*cos(3t)-0.4*sin(3t)+0.4*cos(5t)+0.2*sin(5t))*exp(-2i1t)/(2pi) dt from t=0 to t=2pi
Kliknij https://www.wolframalpha.com.

Rys. 11-20
Trajektoria F(-2j1t)=f(t)*exp(-2j1t)
sc2=0 czyli nie istnieje harmoniczna o pulsacji ω=2/sek

Rozdział 11.7.6 Środek ciężkości sc3 dla ω=3/sek.
Trajektoria F(-3j1t)=f(t)*exp(-3j1t) z Rys.7-18 ω=-3/sek
Do okienka wpisz lub wklej
integrate (0.5+0.9*cos(1t)+0.6*sin(1t)+0.6*cos(3t)-0.4*sin(3t)+0.4*cos(5t)+0.2*sin(5t))*exp(-3i1t)/(2pi) dt from t=0 to t=2pi
Kliknij https://www.wolframalpha.com.

Rys. 11-21
Trajektoria F(-3j1t)=f(t)*exp(-3j1t)
sc3=0.3+j0.2
Zespolona amplituda trzeciej harmonicznej to 2*sc=0.6+j0.4
czyli trzecia harmoniczna wg Rys. 11-1h i Rys. 11-1i to h3(t)=0.6cos(3t)-0.4sin(3t)≈0.72*cos(3t+33.7°).

Rozdział 11.7.7 Środek ciężkości sc5 dla ω=5/sek.
Trajektoria F(-5j1t)=f(t)*exp(-5j1t) z Rys.11-16 ω=-5/sek
Do okienka wpisz lub wklej
integrate (0.5+0.9*cos(1t)+0.6*sin(1t)+0.6*cos(3t)-0.4*sin(3t)+0.4*cos(5t)+0.2*sin(5t))*exp(-3i1t)/(2pi) dt from t=0 to t=2pi
Kliknij https://www.wolframalpha.com.

Rys. 11-22
Trajektoria F(-5j1t)=f(t)*exp(-5j1t)
sc=0.2-j0.1
Zespolona amplituda piątej harmonicznej to 2*sc=0.4-j0.2
czyli piąta harmoniczna wg Rys. 11-1h i Rys. 11-1i to h5(t)=0.4cos(5t)+0.2sin(5t)≈0.45*cos(5t-26.6°)

Rozdział 11.7.8 “Środek ciężkości” scn trajektorii F(-njω0t)=f(t)*exp(-njω0t) dla n=4,6,7,8 i ω0=1/sek
Pozostały jeszcze środki ciężkości sc4, sc6, sc7 i sc8 czyli dla n=4, 6, 7 i 8.Są zerowe czyli nie występują harmoniczne dla tych pulsacji n*ω0. Proponuję samemu dokonać obliczeń programem WolframAlfa i sprawdzić czy są takie same jak w Rozdziale 6. Tam też zobaczysz odpowiednie trajektorie.

Rozdział 11.8 Środki ciężkości scn trajektorii fali prostokątnej parzystej dla n=0,1,2,…8 i ω0=1/sek
Rozdział 11.8.1 Wstęp
Powtórzymy rodz.8, ale tym razem obliczymy środki ciężkości trajektorii scn programem WolframAlfa. Poprzednio przyjęliśmy je na wiarę.

Rys. 11-23
Fala prostokątna parzysta f(t) A=1, ω=1/sek, ϕ=0 i w=50%.
Obliczymy kolejne harmoniczne programem Wolframu Alfa stosując wzory z Rys.11-1. Ale najpierw sprawdzimy jak WolframAlfa radzi sobie z falą prostokątną.

Rozdział 11.8.2 Fala prostokątna f(t) i WolframAlfa
Wiemy jak wygląda instrukcja funkcji np. sin(t) w WolframAlfa. Funkcja sin(t) to po prostu sin(t). Natomiast fala prostokątna to squarewave[t]. Zróbmy wykres tej funkcji instrukcją plot.
Kliknij https://www.wolframalpha.com.
Do okienka wpisz lub wklej
plot squarewave[t] from t=-2 to 2

Rys.11-24
Fala prostokątna wywołana funkcją squarewave[t] from t=-2 to 2
Jest to funkcja nieparzysta, okresowa T=1sek, A=2 bez składowej stałej.
Jak ją zmodyfikować, żeby otrzymać falę parzystą z rozdz.8?
Należy
1. Przemnożyć przez 0.5 żeby zmniejszyć amplitudę z A=2 na A=1
2. “Rozciągnąć” z okresu T=1sek do T=2πsek
3. Przesunąć w lewo o π/2sek aby funkcję nieparzystą zmienić na parzystą.
4. Przesunąć w górę o 0.5
Zbadajmy ją,
Kliknij https://www.wolframalpha.com.
Do okienka wpisz lub wklej
plot 0.5*squarewave[(t+0.5pi)/(2pi)]+0.5 from t=-2π to 2π

Rys.11-25
Fala prostokątna z Rys.11-23 wywołana programem WolframAlfa.
Pokazano okres T=2π funkcji f(t), ściślej t od –π do +π.
W następnych rozdziałach wyznaczymy jej trajektorie, środki ciężkości scn i harmoniczne hn(t).

Rozdział 11.8.3 Środek ciężkości sc0, czyli dla ω=0, czyli składowa stała a0.
Skorzystamy ze wzoru Rys.11-1c
Kliknij https://www.wolframalpha.com.
Do okienka wpisz lub wklej
(1/(2pi))*integrate [[0.5+ 0.5*SquareWave[(t+pi/2)/(2pi)]] from t=-pi to t=+pi

Rys.11-26
Obliczenie składowej stałej sc0=c0=a0=+0.5
Tak jak się spodziewaliśmy, a0=0.5 jako średnia wartość fali prostokątnej w okresie od –π do +π. Nawet nie trzeba było całkować, bo a0 jako średnią widać na Rys.11-23.

Rozdział 11.8.4 Środek ciężkości sc1, czyli dla ω=-1/sek.
Czyli sc1 trajektorii F(-1j1t)=f(t)*exp(-1j1t) gdzie f(t) jest falą prostokątną z Rys.11-23. Powtórzymy animację z Rys. 8-3 rozdz. 8.

Rys.11-27
Trajektoria F(1j1t) fali prostokątnej parzystej
Rys.11-25a
Wektor 1exp(j1j1t) jako promień R=1 wirujący z prędkością ω=-1/sek
Rys.11-25b
Wektor F(1j1t) jako promień R=1 modulowany falą prostokątną f(t) z Rys.11-23.
Rys.11-25c
Trajektoria F(1j1t) fali prostokątnej parzystej rysowana przez koniec wektora z Rys.11-25b
Wektor środka ciężkości trajektorii sc1=(1/π,0) mniej więcej zgadza się z intuicją, Przecież jako średnia obracającego się wektora z Rys.11-25b musi leżeć gdzieś pomiędzy (0,0) a (1,0). Policzmy go teraz dokładnie programem WolframAlfa.
Skorzystamy ze wzoru Rys.11-1c
Kliknij https://www.wolframalpha.com.
Do okienka wpisz lub wklej
[(1/(2pi)]*integrate [[0.5+ 0.5*SquareWave[(t+pi/2)/(2pi)]]*exp(-1i1t)dt from t=0 to t=+2pi

Rys.11-28
Obliczenie sc1=(1/π,0)
Program obliczył średnią z wektorów w czasie T=2πsek i wyszło mu 0.31831.
Po pierwsze to policzył dokładniejszą wartość ale zaokrąglił do 5 cyfr po przecinku.
Po drugie jest to dokładnie liczba 1/π
Po trzecie jest to wektor w postaci liczby zespolonej sc1=(1/π,0)

Rozdział 11.8.5 Środek ciężkości sc2=0, czyli dla ω=-2/sek.
Czyli sc2 trajektorii F(-2j1t)=f(t)*exp(-1j1t) gdzie f(t) jest falą prostokątną z Rys.11-23. Powtórzymy animację z Rys. 8-5 rozdz. 8.

Rys.11-29
Trajektoria F(2j1t) fali prostokątnej parzystej
Rys.11-29a
Wektor 1exp(j2j1t) jako promień R=1 wirujący z prędkością ω=-2/sek
Rys.11-29b
Wektor F(2j1t) jako promień R=1 modulowany falą prostokątną f(t) z Rys.11-23.
Rys.11-29c
Trajektoria F(2j1t) fali prostokątnej parzystej rysowana przez koniec wektora z Rys.11-27b
Wektor środka ciężkości trajektorii sc2=(0,0) zgadza się z intuicją jako średnia. Policzmy go teraz dokładnie programem WolframAlfa.
Skorzystamy ze wzoru Rys.11-1c
Kliknij https://www.wolframalpha.com.
Do okienka wpisz lub wklej
[(1/(2pi)]*integrate [[0.5+ 0.5*SquareWave[(t+pi/2)/(2pi)]]*exp(-2i1t)dt from t=0 to t=+2pi

Rys. 11-30
Obliczenie sc2=0=(0,0)
Czyli druga harmoniczna, ściślej dla ω=2/sek nie występuje.

Rozdział 11.8.6 Środek ciężkości sc3, czyli dla ω=-3/sek.
Czyli sc3 trajektorii F(-3j1t)=f(t)*exp(-3j1t) gdzie f(t) jest falą prostokątną z Rys.11-23. Powtórzymy animację z Rys. 8-6 rozdz. 8.

Rys.11-31
Trajektoria F(1j1t) fali prostokątnej parzystej
Rys.11-31a
Wektor 1exp(j1j1t) jako promień R=1 wirujący z prędkością ω=-1/sek
Rys.11-31b
Wektor F(1j1t) jako promień R=1 modulowany falą prostokątną f(t) z Rys.11-23.
Rys.11-31c
Trajektoria F(3j1t) fali prostokątnej parzystej rysowana przez koniec wektora z Rys.11-31b
Wektor środka ciężkości trajektorii sc3=(-1/3π,0). Do interpretacji najlepiej nadaje się animacja Rys.11-31b. Zauważ, że wektor wykonuje 2 x 3/4 obrotu. Lewy kierunek wektora na osi Rez jest oczywisty, gdy uwzględnimy 2 puste ćwierćobroty. Gdyby ich nie było (2x1 obrót), to sc3=(0,0). A dlaczego długość wektora sc3 jest mniejsza od długości sc1 na Rys.11-27c? Bo więcej jest przerw w okresie T=2πsek, co zmniejsza średnią. Ostatecznie przekona Cię WolframAlfa.
Skorzystamy ze wzoru Rys.11-1c
Kliknij https://www.wolframalpha.com.
Do okienka wpisz lub wklej
[(1/(2pi)]*integrate [[0.5+ 0.5*SquareWave[(t+pi/2)/(2pi)]]*exp(-3i1t)dt from t=0 to t=+2pi

Rys.1-32
Obliczenie sc3=(-1/3π,0)

Rozdział 11.8.7 Środek ciężkości sc4=0, czyli dla ω=-4/sek.
Czyli sc4 trajektorii F(-4j1t)=f(t)*exp(-4j1t) gdzie f(t) jest falą prostokątną z Rys.11-23. Powtórzymy animację z Rys. 8-6 rozdz. 8.

Rys.11-33
Trajektoria F(4j1t) fali prostokątnej parzystej
Rys.11-33a
Wektor 1exp(4j1t) jako promień R=1 wirujący z prędkością ω=-4/sek
Rys.11-33b
Wektor F(4j1t) jako promień R=1 modulowany falą prostokątną f(t) z Rys.11-23.
Rys.11-33c
Trajektoria F(4j1t) fali prostokątnej parzystej rysowana przez koniec wektora z Rys.11-33b
Wektor środka ciężkości trajektorii sc4=(0,0) zgadza się z intuicją jako średnia. Policzmy go teraz programem WolframAlfa.
Skorzystamy ze wzoru Rys.11-1c
Kliknij https://www.wolframalpha.com.
Do okienka wpisz lub wklej
[(1/(2pi)]*integrate [[0.5+ 0.5*SquareWave[(t+pi/2)/(2pi)]]*exp(-4i1t)dt from t=0 to t=+2pi

Rys. 11-34
Obliczenie sc4=(0,0)

Rozdział 11.8.8 Środki ciężkości sc5,sc6,sc7 i sc8, czyli dla ω=-5/sek, -6/sek,-7/sek i- 8/sek.
Jako praca domowa. Podpowiem tylko, że wystarczy do Wolframowego okna wkleić
[(1/(2pi)]*integrate [[0.5+ 0.5*SquareWave[(t+pi/2)/(2pi)]]*exp(-ni1t)dt from t=0 to t=+2pi
z odpowiednio zmienionym n.