Liczby zespolone

Rozdział 4 Liczby zespolone w elektrotechnice

Rozdział 4.1 Wstęp
Obliczanie prądów i napięć zmiennych to działania matematyczne na sinusoidach. Nie ma problemu, gdy obwód elektryczny składa się tylko z rezystancji. Wtedy sinusoida prądu jest w fazie z sinusoidą napięcia. Wystarczy tylko obliczyć amplitudę prądu metodami prądu stałego. Jakieś Kirchoffy, Theveninny, Nortony, obwody oczkowe itd.
Wprowadzenie do obwodu elektrycznego indukcyjność L lub pojemności C  zmienia nie tylko amplitudę prądu ale także przesuwa jej sinusoidę o odpowiedni kąt-fazę φ. Cała sztuka to właśnie obliczenie amplitudy i fazy prądu. Można to zrobić wykorzystując zwykłą trygonometrię, ale powstają wtedy dość skomplikowane wzory! Tymczasem liczby zespolone bardzo ułatwiają rachunki. Obliczanie prądów sinusoidalnych staje się podobne do obliczania prądów stałych.

Rozdział 4.2 Funkcja zespolona exp(jωt) jako wirujący wskaz
Liczby zespolone są związane z sinusoidą i z ruchem harmonicznym. Prądy zmienne to sinusoidy. Dlatego nie ma się co dziwić temu, że liczby zespolone  pojawiły się najpierw w matematyce, co jest oczywiste, ale zaraz potem w elektrotechnice XIX wieku razem z prądami zmiennymi. Sinusoidy są traktowane przez elektryków jako wirujące wektory, lub co prawie na jedno wychodzi, jako liczby zespolone. Więcej na ten temat w artykule Szeregi Fouriera Klasycznie, rozdział 3.1

Rozdział 4.3 Obwód RL
Rozpatrzmy prosty przykład z rezystancją i indukcyjnością czyli z obwodem RL. Jakie są konkretne wartości R i L? Nieważne. Ważny jest tylko przebieg czasowy przy tych parametrach na  na oscyloskopie-Rys. 1-1b. Pojawi się przesunięcie fazowe φ=π/6=30º.

Rys. 4-1
Obwód RL z wejściem zmiennonapięciowym
Rys. 4-1a
Schemat gdzie:
– wejściem jest  napięcie sinusoidalne U=1sin(1t) w voltach
– wyjściem jest prąd  I=0.5sin(1t-π/6) w amperach.
Rys. 4-1b
Wykresy czasowe
Przebiegi są tu akurat bardzo wolne z pulsacją ω=1 (ściślej ω=1/sek) która odpowiada okresowi T=2π=6.28…sek. Oj, wielka musi być ta cewka L! Przy tych parametrach RL sinusoida prądu jest przesunięta w fazie o kąt φ=π/6 czyli o 30º.
Rys. 4-1c
Wykresy wskazowe 
– Zielony wskaz napięcia wejściowego
– Czerwony wskaz prądu wyjściowego
Długości wskazów to amplitudy napięcia lub prądu.
Wykresy czasowe i wskazowe z podaną pulsacją ω  są oczywiście równoważne.
Obydwa wskazy-wektory wirują w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara z pulsacją ω=1/sek. Rys. 4-1c to fotografia wirujących wektorów w chwili t=0. Ich rzuty w funkcji czasu na oś pionową są dokładnie przebiegami z Rys. 4-1b.  Na wykresie wskazowym wyraźniej widać opóźnienie φ=30º prądu względem napięcia oraz amplitudy jako długości wskazów.
Wskazy to nic innego jak liczby zespolone:
1+0j
0.433-0.25j
Akurat w tym przypadku dodawanie sinusoid albo wskazów opisujących obwód z Rys. 4-1a nie ma sensu. Nie można przecież dodawać prądu do napięcia, tak jak nie można dodawać jabłek do okrętów podwodnych! Dodawać można tylko prądy lub tylko napięcia i to jest podstawa elektrotechniki. Sumowanie dwóch wektorów jest to dużo łatwiejsze niż sumowanie trygonometryczne dwóch sinusoid!
A wektory to prawie liczby zespolone
Za to właśnie elektrycy kochają liczb zespolone!