Transformata Fouriera

Rozdz. 5. Transformata Fouriera ogólnie

Rozdz. 5.1 Wstęp
Nie wszystkie funkcje podpadają pod Transformatę Fouriera.

Rys. 5-1
Funkcje obsługiwane przez Transformatę Fouriera
Mają skończony czas trwania lub nieskończony, ale ze skończoną energią/polem.
Rys. 5-1a
Funkcje parzyste
Np. pojedynczy impuls A=1,  Tp=1sek który wałkowaliśmy w rozdz. 3 i 4. Albo kawałek symetrycznej paraboli. Ich transformaty są “łatwiejszymi” niż zespolone, funkcjami rzeczywistymi.
Rys. 5-1b
Nie koniecznie parzyste.
Przeważnie ich transformaty są to trudniejszymi funkcjami zespolonymi i tego dotyczy ten rozdział. Przykład prawy tj. f(t)=exp(-t) dla t=0…+∞ ma nieskończony czas trwania, ale skończoną enegię/pole.  Przy pewnych założeniach istnieją nawet Transformaty Fouriera dla t=-∞…+∞ takich funkcji jak np. f(t)=1 ,t^n,  sin(ωt), cos(ωt), impuls diraca δ(t).  Ale już nie dla exp(+t)!  Natomiast prawie wszystkie funkcje f(t) obsługuje najbardziej ogólna transformata Laplace’a.
Na razie rozpatrzymy funkcję okresową typu pojedynczy impuls, która nie jest parzystą ani nieparzystą.

Rys. 5-2
Funkcja f(t) ani parzysta ani nieparzyta
Rys. 5-2a
Funkcja okresowa f(t) o okresie To.
W porównaniu do Rys. 3-1a z rozdz. 3 funkcja f(t) nie jest parzystą ani nieparzystą.
Rys. 5-2b
Funkcja f(t) typu pojedynczy impuls w skończonym czasie. Traktujemy ją jak okresową z Rys. 5-2a o okresie T=∞.

Rozdz. 5.2 Trygonometryczny i Zespolony Szereg Fouriera
Rozdz. 5.2.1 Co powinieneś wiedzieć o Szeregu Fouriera
Trygonometryczny i Zespolony Szereg Fouriera to prawie to samo pod względem rachunkowym. Ale ten ostatni ma pewne plusy. Zespolone współczynniki Fouriera c(n) są środkami wirujących trajektorii F(njω0t)=f(t)*exp(-njω0t) dla Szeregu Fouriera z Rys. 5-4a, tzn. dla wersji z dodatnimi i ujemnymi ω. Dzięki liczbom zespolonym,  jest to najbardziej intuicyjne podejście do tematu!
Rozdz. 5.2.2 Trygonometryczny Szereg )Fouriera

Rys. 5-3
Trygonometryczny wzór na Szereg Fouriera dotyczący funkcji f(t) o okresie To.
Jest to wzór ogólny dla funkcji f(t) typu Rys. 5-2a, która niekoniecznie musi być parzysta.
Rozdz. 5.2.3 Zespolony Szereg Fouriera

Rys. 5-4
Zespolony wzór na Szereg Fouriera
a. Zespolony Szereg Fouriera ze współczynnikami c(n)
b. Zespolony Szereg Fouriera ze współczynnikami jako c(n)=a(n)-jb(n)
c. Wzór na c(n)
d. Wzór na a(n) 
e. Wzór na b(n)
Więcej o Trygonometrycznym i Zespolonym” Szeregu Fouriera w artykule “Wirujące Szeregi Fouriera”
Uwaga:
Wzór c. na c(n) uwzględnia także c(0) tj. składową stałą. Dotyczy także Rys. 5-3.
Rozdz. 5.2.4 Detektor harmonicznych
Dla Szeregów Fouriera z dodatnimi i ujemnymi pulsacjami ω–>Rys. 5-4a.
Współczynniki cn są środkami ciężkości scn trajektorii F(njωt)=f(t)*exp(-njω0t).

Rys. 5-5
Detektor harmonicznych dla funkcji f(t)=0.5+0.9*cos(1t)+0.6*sin(1t)+0.6*cos(3t)-0.4*sin(3t)+0.4*cos(5t)+0.2*sin(5t)
Detektor szuka harmonicznych dla pulsacji ω=-8/sek…0…+8sek. Z powyższego wzoru wynika, że są nimi 3 harmoniczne i składowa stała c0=0.5. Każdej powyższej niezerowej harmonicznej odpowiada para przeciwnie wirujących wektorów c(n)=c(-n)*. Ciekawe, jak je detektor wykryje? Zacznie od ω=-8/sek  dla której obliczy c(-8)=(0,0). Potem kolejno oblicza c(-7) dla ω=-7/sek…aż do c(+8).  Zerowe c(n)=(0,0) pojawią się w środku (0,0) płaszczyzny zespolonej. Oznacza to brak harmonicznej dla tej ω. Więcej o c(n) jako środku ciężkości trajektorii, ale tylko dla nieujemnych pulsacji ω–>rozdz.7.7 artykułu “Wirujące Szeregi Fouriera”
Na animacji nie widzisz wirujących trajektorii F(jnω0t), tylko ich efekt–>obliczone współczynniki c(n) jako ich środki ciężkości:
Zerowe c(n)
c(+8)=c-8)=0
c(+7)=c(-7)=0
c(+6)=c(-6)=0
c(+4)=c(-+4)=0
c(+2)=c(-2)=0
Niezerowe jako pary liczb sprzężonych c(n) i c(n)*
c(+1)=0.45-j0.3 i c(-1)=0.45+j0.3
c(+3)=0.3+j0.2 i c(-3)=0.3-j0.2
c(+5)=0.2-j0.1 i c(-5)=0.2+j0.1
Są to amplitudy zespolone harmonicznych dla konkretnych ω. Inaczej i niezbyt precyzyjnie-harmoniczne funkcji f(t).
Składowa stała c(0)
c(0)=a0=+0.5
Sprawdź w animacji jak:
– zmienia się ω
– dla których ω są zerowe cn
– dla których ω są niezerowe cn jako pary liczb sprzężonych
Te wirujące trajektorie i ich środki ciężkości c(n) służą tylko pobudzeniu wyobraźni. A tak naprawdę, to detektor oblicza c(n) wg. wzoru Rys.5-4c. Animacja pokazywała kolejne c(n), czyli niezbyt ściśle, ale obrazowo, kolejne harmoniczne funkcji f(t).
Rozdz. 5.2.5 Wszystkie harmoniczne razem
Poniżej wszystkie c(n) na jednym obrazku. Jest to bardziej ogólny  odpowiednik wykresu prążkowego z rozdz.4 dla f(t) która nie musi być parzysta.  Z czerwonych wektorów c(n) można odczytać, pulsację ω, amplitudę A  i fazę φ n-tej harmonicznej. Wykres prążkowy nie pokazuje fazy φ. Ściślej, pokazuje ale tylko 0º lub 180º.
Rys.5-6
Wszystkie c(n) razem
Tu wyraźnie widać,  współczynniki zerowe c(n)=(0,0), składową stałą c(0) oraz pozostałe c(n) jako tzw. liczby sprzężone.
Teraz spójrz na wzór ogólny Szereg Fouriera na Rys. 5-4a i użyj wyobraźni tzn.
– wektor c(0) jest nieruchomy
– wektory c(+1),c(+3),c(+5) wirują “przeciw zegarowo” bo takie jest ich c(n)*exp(+jnω0t) 
– wektory sprzężone c(-1),c(-3),c(-5) wirują “zegarowo” bo takie jest ich c(-n)*exp(-jnω0t) 
Suma tych ich wszystkich da nam wektor f(t) poruszający się po osi rzeczywistej Re z.
Wniosek
Wirujące wektory powinny by dla Ciebie Szeregiem Fouriera ze wzoru Rys. 5-4a.
Uwagi
1. Animacja przeciwnie wirujących wektorów dla innej f(t)–>Rys.12-8 w rozdz.12 artykułu “Wirujące Szeregi Fouriera”.
2. Do tych danych można bezpośrednio dojść z funkcji f(t), gdzie składowa stała i harmoniczne są widoczne. Ale nasz detektor obliczył je “nie widząc” poszczególnych harmonicznych, tylko ich sumę! Tak jakby korzystał tylko z wykresu f(t).
3. Wielu autorów chwali się, że nie używa liczb zespolonych, żeby coś tam wytłumaczyć. Że tak będzie łatwiej. Ale akurat liczby zespolone bardzo ułatwiają zrozumienie Szeregów Fouriera! Funkcja podcałkowa z f(t)exp(-jω0t) jest wirującą trajektorią wokół  punktu/wektora cn=an-jbn. Punkt cn jest jakby środkiem ciężkości tej trajektorii. Jest on też amplitudą zespoloną harmonicznej |cn|*cos(nω0t-φ). Dobrze to widać na animacji  “Wirujące Szeregi Fouriera”–>rozdz. 12–>Rys.7-7.
4. Temat został omówiony w “Wirujące Szeregi Fouriera” rozdz. 7.5 , ale tylko dla pulsacji nieujemnych–>ω=0…+7/sek,+8/sek. Współczynniki cn miały 2 razy większą amplitudę i nie występowały oczywiście współczynniki sprzężone c(n)*.
Na płaszczyźnie zespolonej na osi rzeczywistej porusza się wektor wg. funkcji f(t). Czyli “wte i we wte” wokół punktu (0,0). Płaszczyzna ta zacznie obracać się z prędkościami ω=-8/sek,-7/sek…0…+7/sek,+8/sek. Funkcja f(t) rysuje trajektorie F(jnω0t)=f(t)*exp(-njω0t) dla n=-8…0…+8 i ω0=1/sek. Czyli z prędkościami ω jak powyżej. Przy każdej prędkości ω trajektoria będzie miała oczywiście inny kształt i inny środek ciężkości scn równy współczynnikowi cn z Rys.5-4c. Gdy f(t) nie ma harmonicznej dla ω, np. dla ω=+2/sek, to c(n)=0.

.