Liczby zespolone

Rozdział 2 Arytmetyka liczb zespolonych

Rozdział 2.1 Definicja
Liczba zespolona z, jak sama nazwa wskazuje to zespół 2 liczb. Składa się z części rzeczywistej i urojonej.
Można ją przedstawić równoważnie jako parę lub jako sumę. Np. z=(3,2) lub z=3+2j

Rys. 2-1
Równoważne zapisy liczby zespolonej z
O ile liczby rzeczywiste można przedstawić na jednej osi rzeczywistej x, to liczby zespolone wymagają płaszczyzny o osi rzeczywistej Re z oraz urojonej Im z.  Jest to więc twór trochę podobny do wektora, ale tylko podobny!
Zobaczmy jak wygląda kilka typowych liczb zespolonych z1,…z9

Rys. 2-2
Kilka typowych liczb zespolonych na płaszczyźnie z jako pary. 
Można je też przedstawić równoważnie jako sumy np. z3=(5,5) to jest to samo co z3=5+j5
Zauważ, że liczby zespolone z6, z1 i z2 mają tylko część rzeczywistą. Są to więc zwykłe liczby rzeczywiste -5,0,+5.

Rozdział 2.2  Najbardziej “absurdalne” założenie dla liczb zespolonych
Zwróć uwagę na cudzysłów w tytule. Może i absurd, ale nie aż taki.

Rys. 2-3
Równoważne definicje liczby urojonej j
1. Liczba urojona j jest pierwiastkiem z -1
2. Kwadrat liczby urojonej j jest równy -1
3. Iloczyn 2 liczb urojonych j jest równy -1
Za coś takiego w szkole podstawowej a nawet średniej można dostać po łapach! Okazuje się jednak, że przyjęcie takiego założenia bardzo ułatwia obliczenia w świecie rzeczywistym! Powoduje, że podczas mnożenia 2 liczby zespolone są obracane. W połączeniu z dodawaniem ułatwia to operacje na sinusoidach.
A sinusoidy to elektrotechnika!
W niej opór, indukcja i pojemność:
– zmieniają amplitudę sinusoidy prądu
– przesuwają sinusoidę prądu
względem sinusoidy napięcia.
Amplitudę i przesunięcie prądu można obliczyć też przy pomocy zwykłej trygonometrii, Ale wzory są wtedy bardzo skomplikowane w porównaniu do wzorów opartych na liczbach zespolonych.
Uwaga:
Matematycy używają symbolu i, elektrycy symbolu j.

Rozdział 2.3  Podstawowe działania na liczbach zespolonych
Dodawanie
Składowa rzeczywista sumy równa jest sumie jej składowych. To samo jest ze składową urojoną.

Rys. 2-4
z3=z1+z2
z3=(-5+4j)+(7+5j)=-5+4j+7+5j=2+9j
Zauważ, że w operacji dodawania liczby zespolone zachowują się jak wektory.

Odejmowanie
Składowa rzeczywista różnicy równa jest różnicy jej składowych. To samo jest ze składową urojoną.
Odejmowanie można też traktować jako dodawanie liczby przeciwnej, czyli -z.

Rys. 2-5
z3=z1-z2
z3=(-5+4j)-(7+5j)=-5+4j-7-5j=-12-1j

Mnożenie
Tak samo jak mnożenie dwumianów np. (1+x)(2+y)=2+y+2x+2xy. Pamiętaj tylko o “absurdalnej” regule j*j=-1.
Przykład
z1=0.4+1.6j
z2=1-0.8j
z3=z1*z2=(0.4+1.6j)*(1-0.8j)=0.4+0.32j+1.6j-1.28j*j=1.68+1.28j
Okazuje się, że mnożenie liczb zespolonych to ich obrót! Łatwiej się o tym przekonamy, gdy liczbę zespoloną przedstawimy jako wektor o długości |z|i kącie nachylenia α. Innymi słowy liczbę zespolona o  module |z| i argumencie α.

Rys. 2-6
Liczba zespolona jako moduł |z| i argument α
Tu z=4+6j –>tgα=6/4–>α=arctan(6/4)=56.31º

Rys. 2-7
Nie będziemy tego dowodzić, ale ze zwykłej trygonometrii wynika, że iloczyn z1*z2 to liczba z3 której moduł i argument to:
|z3|=|z1|*|z2|
α3=α1+α2
Obydwa zapisy liczby z=a+jb oraz |z| i α są równoważne tzn. pokazują tą samą liczbę z na płaszczyźnie liczb zespolonych.
Raz wygodniejszy jest pierwszy zapis, a raz drugi.
Zauważ że: j*1=1,  j*j=-1,  j*(-1)=-j oraz j*(-j)=1
A to nic innego jak kolejne obroty liczby o 90º liczby  1 przy mnożeniu jej przez j.

Rys. 2-8
Kolejne obroty liczby j
Tu np. dobrze widać, że -1 to kolejne 2 obroty liczby +1.
Czyli  -1=j*j*(+1)!

Dzielenie
Zastosujemy trick. Pomnóż licznik i mianownik przez tzw. liczbę sprzężoną. Nowy mianownik będzie zawsze liczbą rzeczywistą.
Czyli główna robota to mnożenie mianownika.
Przykład

Rys. 2-9
Jak podzielić z1 przez z2?
Przy okazji dowiedziałeś się co to takiego liczby sprzężone i jaki ich jest iloczyn.
Nie dość, że jest on liczbą rzeczywistą, to łatwo się liczy! Spróbuj to udowodnić.

Przy mnożeniu iloczyn zmienia swój moduł i obraca się zgodnie zgodnie ze wzorem:
|z3|=|z1|*|z2|
α3=α1+α2
Przy dzieleniu też jest obrót ale w przeciwnym kierunku i analogiczny wzór wygląda następująco:
|z3|=|z1|/|z2|<–iloraz
α3=α1-α2
czyli moduły dzielimy a argumenty odejmujemy.
Uwaga
α3 dodatnie to obrót dodatni czyli ruch przeciwny zegara.