Wirujące Szeregi Fouriera Rozdział 12. Szereg Fouriera klasycznie Rozdział 12.1 WstępWłaściwie to wszystkie wzory związane z Szeregiem Fouriera przedstawiono na rys. 7.2 w rozdz.7. Bazowały na tym, że n-tą harmoniczną był podwojony wektor wskazujący n-ty środek ciężkości scn trajektorii F(njω0t)=f(t)*exp(njω0t). Ściślej, była to zespolona amplituda n-tej harmonicznej okresowej funkcji f(t).Teraz przedstawię wzory w postaciach najczęściej spotykane w literaturze …
Wirujące Szeregi Fouriera Rozdział 11. Sprawdzenie wzorów na Szereg Fouriera programem Wolfram Alfa Rozdział 11.1 Wstęp Moim głównym celem jest przekonanie Czytelnika do poniższych wzorów dokładnie omówionych w rozdz. 7.2. Nie są łatwe, ale mam nadzieję, że duża ilość przykładów z animacjami pomogła nieco. Wiadomo, że środek ciężkości scn trajektorii dla danej prędkości obrotowej nω0, …
11. Sprawdzenie wzorów na Szereg Fouriera programem Wolfram Alfa Read More »
Wirujące Szeregi Fouriera Rozdział 10. Szereg Fouriera fali prostokątnej z przesunięciem -30°. Rozdział 10.1 Wstęp Rys.10-1 Fala prostokątna f(t) A=1, ω=1/sek i ϕ=-30° albo -π/6. Parametr ϕ=-30° fali oznacza, że jest przesunięta o –30° względem fali parzystej z rozdziału 8. Nie jest to więc funkcja parzysta ani nieparzysta. Taka nijaka. Fala parzysta miała tylko harmoniczne cosinusoidalne czyli an≠0 …
10. Szereg Fouriera fali prostokątnej z przesunięciem -30°. Read More »
Wirujące Szeregi Fouriera Rozdział 9. Szereg Fouriera fali prostokątnej nieparzystej. Rozdział 9.1 Wstęp Jest to fala z poprzedniego rozdziału przesunięta w prawo, (czyli opóźniona) o ćwierć okresu (czyli o 90° albo o π/2). I tak jak pierwszą harmoniczną poprzedniej był cosinus tak tej będzie sinus. Jest to przykład funkcji nieparzystej. Rys. 9-1 Fala prostokątna nieparzysta …
9. Szereg Fouriera fali prostokątnej nieparzystej. Read More »
Wirujące Szeregi Fouriera Rozdział 8. Szereg Fouriera fali prostokątnej parzystej. Rozdział 8.1 Wstęp Do tej pory badaliśmy funkcje f(t), w której wszystkie harmoniczne były widoczne we wzorze np. f(t)=1.3+0.7cos(2t)+05.cos(4t). A wszystko to, jakby powiedział Michał Wiśniewski, w celu sprawdzenia wzorów Fouriera. A gdy harmonicznych nie widać w funkcji f(t)? Tak jak np. w fali prostokątnej f(t) o …
Wirujące Szeregi Fouriera Rozdział 7. Jak obliczać środki ciężkości trajektorii scn? Rozdział 7.1 Wstęp W rozdziałach 4,5 i 6 wyłuskaliśmy z wirującej trajektorii F(njω0t) jej “środek ciężkości” sc jako liczbę zespoloną. A to jest już prawie n-ta harmoniczna o pulsacji ω=n*ω0 funkcji f(t), bo scn=2*sc. Wtedy jeszcze nie znaliśmy wzoru na scn i wynik przyjęliśmy bez dowodu. Teraz poznamy go na Rys. 7-2b,c a także związek środka ciężkości scn trajektorii n-tej z n-tą harmoniczną f(t) na Rys. 7-2i,j. Rozdział …
7. Jak obliczać środki ciężkości trajektorii scn i detektor harmonicznych? Read More »
Wirujące Szeregi Fouriera Rozdział 6. Jak odfiltrować harmoniczne z funkcji f(t)=0.5+1.08*cos(1t–33.7°)+0.72*cos(3t+33.7°)+0.45*cos(5t-26.6°) Rozdział 6.1 Wstęp Im dalej w las tym więcej… W Rozdziale 4 wyłuskaliśmy z funkcji f(t)=0.5*cos(4t) harmoniczną 0.5*cos(4t). Trochę to jak wyciąganie królika z worka, w którym jest tylko jeden królik-harmoniczna 0.5*cos(4t). Banał, ale był to tylko pretekst do poznania metody wirującej płaszczyzny. W Rozdziale 5 jest już ciekawsza funkcja f(t)=1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t). Wyłuskiwanie miało większy …
Wirujące Szeregi Fouriera Rozdział 5. Jak wyłuskać harmoniczne z f(t)=1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)? Rozdział 5.1 Wstęp W poprzednim rozdziale wyłuskaliśmy harmoniczną 0.5*cos(4t) z funkcji f(t)=0.5*cos(4t) i z funkcji f(t)=0.5*cos(4t-30°) przy pomocy wirującej z prędkością ω=n*ω0 płaszczyzny Z. Teraz zrobimy to samo, ale z funkcją f(t)=1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t). Pulsacje obu cosinusów są różne! Ciekawe, jak to wpłynie na wykres f(t) i wirujące trajektorie f(jnω0t)? Przekonasz się że: – niezależnie od …
5. Jak odfiltrować harmoniczne z f(t)=1.3+0.7*cos(2t)+0.5*cos(4t)? Read More »
Wirujące Szeregi Fouriera Rozdział 4. Jak odfiltrować harmoniczną z f(t)=0.5*cos(4t)? Rozdział 4.1 Wstęp Każda funkcja okresowa f(t) jest sumą sinusoid/cosinusoid czyli tzw. harmonicznych o pulsacjach 1ω0, 2ω0,3ω0… Zbudowanie f(t) gdy znamy harmoniczne jest proste. Wystarczy je dodać. Odwrotnie tzn. znalezienie harmonicznych o pulsacjach 1ω0, 2ω0,…nω0, gdy znamy f(t), to już ciekawszy problem. Np. jak wyłuskać 3 harmoniczną tj. dla 3ω0=3*1/sek z fali prostokątnej o pulsacji 1ω0=1/sek czyli o okresie T≈6.28sek? Pomocna tu będzie dwuwymiarowa i zespolona wersja funkcji f(t), czyli trajektoria* F(njω0t)=f(t)*exp(-njω0t). Jest to właściwie n trajektorii dla n różnych harmonicznych o …
4. Jak odfiltrować harmoniczną z f(t)=0.5*cos(4t)? Read More »
Wirujące Szeregi Fouriera Rozdział 3 Sumowanie wirujących wektorów exp(jωt) Rozdział 3.1 A po co to? Żeby ułatwić zrozumienie sumowanie funkcji cos(ωt), szerzej-funkcji sinusoidalnych. A to jak znalazł pasuje do Szeregów Fouriera, które są sumą sinusów i cosinusów. Rozdział 3.2 Ogólnie o sumowaniu wirujących wektorów exp(jωt) Rys.3-1 Rys.3-1a Suma wirujących wektorów F(jt) gdzie : c0 jest składową stałą albo inaczej wirującym wektorem z prędkością ω=0 c1, …